반응형 기계공학 기타과목(4대역학 외)41 [유한요소법] 보간함수 (shape function) (2) 노드 4개 4개의 노드로 되어있는 요소의 좌측 하단 노드를 $(x_{1},y_{1})$, 우측 하단 노드를 $(x_{2},y_{2})$, 우측 상단 노드를 $(x_{3},y_{3})$, 좌측 상단 노드를 $(x_{4},y_{4})$ 라고 놓겠습니다. 각 노드의 변위는 $(u_{i},v_{i})$ 입니다. 점이 4개이므로 평면으로는 보간할 수가 없습니다. 점 네개를 지나는 평면 비슷한걸 정의합시다. 이 평면을 보간함수로 사용할 것입니다. 함수값은 노드의 변위를 나타냅니다. $u(x,y)=a+bx+cy+dxy$ 우리가 알고 있는 값과 변위를 대입하면 아래와 같이 네개의 방정식을 얻습니다. $a+bx_{1}+cy_{1}+dx_{1}y_{1}=u_{1}$ $a+bx_{2}+cy_{2}+dx_{2}y_{2}=u_{2}.. 2024. 5. 1. [탄성학] 2. 응력, 응력변환, 주응력 힘을 받는 물체가 평형을 이루고 있다고 합시다. 이 물체의 단면을 자르면 단면에는 힘이 작용하고 있습니다. 단면에서 작은 요소 하나를 잡겠습니다. 넒이가 A인 요소입니다. 이 요소에도 힘이 작용하고 있습니다. 힘의 합력은 특정 방향으로 작용하고 있을텐데, 그 방향이 어떻든 간에 normal 방향과 shear 방향의 두 힘 성분으로 나타낼 수 있습니다. 만약 수직방향을 x축으로 하여 좌표계를 하나 잡는다고 하면, normal 방향 힘 하나와 shear 방향 힘 두개로 분해할 수 있습니다. (그림출처 Advanced Mechanics of Materials and Applied Elasticity) 이때 단면의 면적 A를 0으로 보내면 각 힘도 0이 됩니다. 그렇다면 A가 0으로 갈 때, $\frac{F.. 2024. 4. 26. [탄성학] Airy 응력함수 (Airy stress function) 1. 배경 탄성학에서 고체의 변형 문제를 풀기 위해서는 15개의 연립미분방정식을 풀어야 합니다. 15개의 방정식은 평형방정식 3개, 변형률-변위 관계식 6개, 응력-변형률 관계식 6개입니다. 미지의 변수는 응력 요소 6개, 변형률 6개, 변위 3개로 방정식의 수와 같습니다. 하지만 실제로 이 연립방정식을 푸는 것은 불가능합니다. 학자들은 문제를 단순화하기 위해 몇가지 가정을 추가하여 탄성론의 하위 카테고리들을 만들었습니다. 그 카테고리 중에 평면응력과 평면변형률도 있습니다. 평면응력과 평면변형률 가정을 하면 15개의 방정식은 아래와 같이 하나의 방정식으로 축약됩니다. $\left ( \frac{\partial^2}{\partial x^2}+\frac{\partial^2}{\partial y^2} \rig.. 2024. 4. 18. [탄성학] 평면응력문제와 평면변형률 문제의 적합방정식 평형방정식 3개, 변형률-변위 관계식 6개, 응력-변형률 관계식 6새로 총 15개의 방정식을 아래 방정식 하나로 축약할 수 있습니다. 축약 과정은 생략합니다. $\left ( \frac{\partial^2}{\partial x^2}+\frac{\partial^2}{\partial y^2} \right )\left ( \sigma_{x}+\sigma_{y} \right )=-\left ( 1+\nu \right )\left ( \frac{\partial f_{x}}{\partial x}+\frac{\partial f_{y}}{\partial y} \right )$ $\left ( \frac{\partial^2}{\partial x^2}+\frac{\partial^2}{\partial y^2} \right .. 2024. 4. 14. [탄성학] 평면응력(plane stress)이란 무엇인가 평면 응력은 물체가 너무 얇아서 z 방향 응력이 무시할 수 있을 만큼 작은 상태를 말합니다. z방향 응력이 모두 0이 됩니다. $\sigma_{z}=0$ $\tau_{zx}=0$ $\tau_{zy}=0$ 따라서 응력은 아래와 같이 평면에 작용하는 응력 셋만 남습니다. $\sigma_{x}=0$ $\sigma_{y}=0$ $\tau_{xy}=0$ 응력 변형률 관계 먼저 살펴봅시다 . 1) 응력-변형률 관계 $\varepsilon _{x}=\frac{1}{E}\left [ \sigma_{x}-\nu (\sigma_{y}+\sigma_{z}) \right ]$ $\varepsilon _{y}=\frac{1}{E}\left [ \sigma_{y}-\nu (\sigma_{x}+\sigma_{z}) \right ].. 2024. 4. 14. [탄성학] 평면변형률(plane strain) 이란? z축 방향으로 무한히 긴 실린더가 있다고 합시다. 단면은 xy 평면입니다. 이 실린더 중간쯤에 어떤 점이 있다고 합시다. (x,y,z)라는 점입니다. 이 점의 변위를 $u(x,y,z)$, $v(x,y,z)$, $w(x,y,z)$ 라고 합시다. z축 방향으로 무한히 길기 때문에 z축 방향의 변위가 없다고 가정할 수 있습니다. 따라서 $w(x,y,z)=0$이라고 가정할 수 있습니다. 또한 z 축 방향으로의 $u$, $v$ 변화가 없다고 가정할 수 있습니다. - $w(x,y,z)=0$ - $u(x,y,z)$, $v(x,y,z)$는 z축에 독립 1) 변위-변형률 관계 응력 변형률 관계에 위 가정을 대입해봅시다. 3차원에서의 응력 변형률 관계는 아래와 같습니다. $\varepsilon_{x}=\frac{\part.. 2024. 4. 8. [탄성학] 왜 수직변형률은 편미분으로 정의될까? 면저 1차원 물체부터 시작해봅시다. 아래와 같이 길이가 L선이 있습니다. 이 선이 힘을 받고 있습니다. 선은 변형이 될텐데, 선 위 각 지점에서의 변형을 u(x) 라고 정의하겠습니다. u(x)를 변형함수라고 부릅니다. 이 선 위에 한 점 $x_{1}$ 부터 $x_{1}+\Delta x_{1}$ 사이의 평균변화율은 아래와 같이 정의됩니다. $\frac{u(x_{1}+\Delta x)-u(x)}{\Delta x}$ $x_{1}$ 에서의 변화율은 아래와 같이 정의됩니다. $\varepsilon_{x}(x_{1})=\lim_{\Delta x \rightarrow 0}\frac{u(x_{1}+\Delta x)-u(x)}{\Delta x}= \left.\begin{matrix} \frac{du(x)}{dx} \en.. 2024. 4. 7. [탄성학] 응력 평형 방정식 유도 아래 그림을 봅시다. 편미분 식이 나와 있는데, 응력을 좌표에 대한 함수라고 생각하면 됩니다. 예를 들어 $\sigma$는 $\sigma(x,y)$인 것입니다. 사실 이 그림은 어이없는 그림입니다. 응력은 점에 작용하는 것인데 면을 가정하였습니다. 그리고 각 면에 작용하는 응력은 균일하다 라는 가정을 합니다. 왼쪽 면을 생각해보면 아래꼭지점에서 위 꼭지점으로 갈 때 응력이 변하지 않는다는 가정입니다. 하지만 왼쪽 면과 오른쪽 면은 응력 차이가 있다고 가정합니다. 저는 이 가정이 좀 억지라고 생각하는데, 이렇게 유도된 공식이 잘 사용되고 있는걸 보면 결과적으로 틀린건 아닌가 봅니다. 엘리먼트의 중점을 잡고 억지 가정 없이 유도해 볼 수도 있을 것 같긴 한데, 일단 기존 방식대로 유도해봅시다. 물체가 평형 .. 2024. 4. 4. [유한요소법] 보간함수 (shape function) (1) 노드 2개 1차원 요소에 node1과 node2가 있다고 합시다. node1과 node2의 좌표를 $x_{1}$과 $x_{2}$ 라고 놓겠습니다. node1과 node2의 변위를 $u_{1}$과 $u_{2}$라고 놓겠습니다. 그래프로 그려보면 아래와 같습니다. $x_{1}$과 $x_{2}$ 사이 값들의 변위를 가정하고 싶은 상황입니다. 보간을 할 것인데요. 선형함수로 보간하겠습니다. 그림으로 먼저 표현하면 아래와 같습니다. u(x) 는 아래와 같이 가정할 수 있습니다. $u(x)=a_{0}+a_{1}x$ 노드 좌표와 변위를 대입하면 아래 두 식을 얻을 수 있습니다. $a_{0}+a_{1}x=u_{1}$ $a_{0}+a_{1}x=u_{2}$ $a_{0}$과 $a_{1}$을 구해봅시다. 아래와 같이 행렬 형.. 2024. 3. 28. [탄성학] 사면체에서의 응력 요소 아래와 같은 사면체가 있다고 합시다. 면 ABC 의 법선벡터는 $\vec{n}$입니다. 면 ABC 에서의 응력 요소를 $p_{x}$,$p_{y}$,$p_{z}$ 라고 합시다. p는 합응력입니다. 응력벡터를 법선벡터 n의 방향 코사인을 l,m,n 이라고 놓겠습니다. 각각 x,y,z 축과의 방향코사인입니다. $l^2+m^2+n^2=1$이 성립합니다. 이때 아래 등식이 유도됩니다. $\begin{align*} p_{x}&=\sigma_{x}l+\tau_{xy}m+\tau_{xz}n \\ p_{y}&=\tau_{xy}l+\sigma_{y}m+\tau_{yz}n \\ p_{z}&=\tau_{xz}l+\tau_{yz}m+\sigma_{z}n \end{align*}$ 행렬형태 식으로 나타내면 아래와 같습니다. $\b.. 2024. 3. 20. [탄성학] 3차원에서 주응력 및 방향코사인 구하는 방법 주응력 구하는 방법 3차원에서 주응력을 구하는 수식은 아래와 같습니다. $\sigma_{p}$가 주응력입니다. $\sigma_{p}^3-I_{1}\sigma_{p}^2+I_{2}\sigma_{p}-I_{3}=0$ 위 3차방정식의 해를 구하면 됩니다. I들은 아래와 같습니다. $I_{1}=\sigma_{x}+\sigma_{y}+\sigma_{z}$ $l_{2}=\sigma_{x}\sigma_{y}+\sigma_{x}\sigma_{z}+\sigma_{y}\sigma_{z}-\tau_{xy}^2-\tau_{yz}^2-\tau_{xz}^2$ $I_{3}=\begin{vmatrix} \sigma_{x} & \tau_{xy} & \tau_{xz} \\ \tau_{xy} & \sigma_{y} & \tau_{yz} .. 2024. 3. 20. [탄성학] 3차원 응력변환 (x,y,z) 좌표계에서의 응력요소를 (x',y',z')좌표계에서의 응력요소로 바꾸는 방법에 대해 알아봅시다. 유도과정은 생략하고 결과만 알아볼 것입니다. 두 좌표계 간의 방향코사인은 아래와 같습니다. x y z x' $l_{1}$ $m_{1}$ $n_{1}$ y' $l_{2}$ $m_{2}$ $n_{2}$ z' $l_{3}$ $m_{3}$ $n_{3}$ 변환 공식은 아래와 같습니다. $\sigma_{x'}=\sigma_{x}l^2_{1} +\sigma_{y}m^2_{1} +\sigma_{z}n^2_{1} +2( \tau_{xy} l_{1}m_{1} + \tau_{yz} m_{1}n_{1} + \tau_{xz} l_{1}n_{1})$ $\sigma_{y'}=\sigma_{x}l^2_{2} +\sigma_.. 2024. 3. 20. [탄성학] 1. 탄성학의 목적 탄성학은 힘을 받은 물체의 응력과 변위를 분석하는 학문입니다. 탄성학에는 두가지 가정이 있습니다. 1) 하중을 제거했을 때 물체가 원래대로 돌아감 2) 선형변형 선형변형이라는 것은 가해진 하중에 응력과 변위가 선형 비례하는 것을 말합니다. y=ax 형태입니다. 선형가정을 통해 두가지 이득을 얻습니다. 1) 선형 중첩을 할 수 있음 2) 선형 변환을 적용할 수 있음 이러한 가정을 통해 문제 상황에 대한 수학적인 접근이 한결 쉬워집니다. 기계공학과에서는 탄성학 보다 재료역학을 먼저 배웁니다. 보통 학부 과정에서 재료역학을 배우고 대학원에서 탄성학을 배웁니다. 재료역학에서는 탄성학 보다 변형에 대한 가정을 더 많이 합니다. 둘을 완벽히 구분하는 것은 어렵지만 이렇게 구분해볼 수 있습니다. 재료역학은 탄성론보다.. 2024. 3. 17. [정역학 요약정리] 7-2. 전단과 굽힘 방정식과 다이어그램 7단원. 내력 7-2. 전단과 굽힘 방정식과 다이어그램 - 보는 축에 수직이 하중을 견디도록 디자인된 부재임 - 실제 보의 설계는 각 지점에 작용하는 전단(V)과 굽힘(M)의 변화를 자세히 이해해야 가능함. 이는 전단법으로 계산 가능함. V와 M을 x의 함수로 표현하는 것임. - 전단 다이어그램과 굽힘 다이어그램을 그릴 수 있음. (이건 재료역학에서 배우게되는 내용인듯.) 2023. 10. 25. 변형률 에너지란 무엇인가? (변형률에너지의 미분은?) 아래와 같은 응력-변형률 선도가 있다고 합시다. 이때 변형률 에너지는 아래와 같이 정의됩니다. $W(\varepsilon)=\int_{0}^{\varepsilon}\sigma(\varepsilon)d\varepsilon$ 변형률 에너지를 변형률로 미분하면 어떻게 되는지 알아봅시다. 우변 $\sigma$의 한 부정적분을 S 라고 놓겠습니다. 위 식은 아래와 같이 변형됩니다. $W(\varepsilon)=S(\varepsilon)-S(0)$ 양변을 변형률로 미분하면 아래와 같습니다. $\frac{d W(\varepsilon)}{d \varepsilon}=\sigma(\varepsilon)$ 변형률 에너지를 미분하면 응력이 나옵니다. 2023. 10. 18. 탄성학 기본구성 방정식 (응력평형방정식,변형률-변위 관계식, 응력-변형률 관계식) 1) 응력 평형 방정식 $\frac{\partial \sigma_{xx}}{\partial x}+ \frac{\partial \sigma_{yx}}{\partial y}+ \frac{\partial \sigma_{zx}}{\partial z}+ f_{x}=0$ $\frac{\partial \sigma_{xy}}{\partial x}+ \frac{\partial \sigma_{yy}}{\partial y}+ \frac{\partial \sigma_{zy}}{\partial z}+ f_{y}=0$ $\frac{\partial \sigma_{xz}}{\partial x}+ \frac{\partial \sigma_{yz}}{\partial y}+ \frac{\partial \sigma_{zz}}{\partial.. 2023. 10. 16. [연속체 역학] 1. 연속체 역학이란 무엇인가 물체는 원자로 구성되어 있습니다. 원자는 전자와 원자핵으로 구성되어 있는데, 원자 내부는 대부분 빈 공간입니다. 내부가 대부분 빈 공간으로 이루어진 원자가 모여서 물체를 이루는 것이라면, 물체 내부 또한 대부분 빈 공간이라고 할 수 있습니다. 따라서 물체는 불연속체입니다. 사람들은 물체가 힘을 받을 때 어떻게 변형되는지 궁금했습니다. 물체는 원자로 구성되어 있기 때문에 원자와 원자 사이의 상호작용과 개별원자의 움직임을 수학적으로 모델링하여 전체 거동을 파악하면 됩니다. 하지만 이를 구현하는 것은 현재 수준의 기술로 불가능합니다. 이 문제를 극복하기 위해 등장한 것이 연속체 가정입니다. 연속체 가정 아래와 같은 2차원 물체가 있다고 합시다. 이 물체의 밀도를 함수로 나타내봅시다. 이 물체 위 어느 한 점의.. 2022. 9. 12. 기계공학과 정역학에서는 무엇을 배울까 정역학은 힘을 받은 상태로 정지해 있는 물체를 다룹니다. 물체는 변형이 없는 강체를 가정합니다. 힘을 받아 물체가 정지해 있다는 것은 물체가 힘의 평형 상태에 있다는 것을 의미합니다. 힘의 종류는 두 가지로 힘과 모멘트가 있습니다. 따라서 정역학의 지배방정식은 아래와 같습니다. 힘과 모멘트의 평형방정식 이라고 부릅니다. $\sum \overrightarrow{F}=0$ $\sum \overrightarrow{M}=0$ 정역학의 목적은 힘을 받고 있는 물체에서 자유물체도를 그리고, 평형방정식을 이용하여 알고싶은 부분에 작용하는 힘을 구하는 것입니다. 초반 부 내용은 벡터, 힘, 모멘트입니다. 평형방정식을 세우려면 벡터,힘,모멘트에 대해 알고 있어야 하기 때문입니다. 그 다음으로는 자유물체도를 그리고 평형방.. 2022. 8. 15. [기구학] 4절 링크 위치해석 (position analysis) (1) 도해법 아래와 같은 4절링크가 있다고 합시다. 길이와 각도들은 모두 알고 있습니다. 속도 중에서는 $\omega_{2}$ 만 알고 있는 상황입니다. 이때 $\omega_{3}$와 $\omega_{4}$ 를 구하는 것이 목적입니다. 알고 있는 것 : 길이, 각도, $\omega_{2}$ 구해야하는 것 : $\omega_{3}$, $\omega_{4}$ 이번 글은 도해법으로 푸는 방법에 대한 글입니다. 도해법은 도형들의 원리를 이용해서 푸는 방법입니다. 아래 그림과 같이 $\vec{V}_{A}$ 와 $\vec{V}_{B}$ 의 방향은 알 수 있습니다. 회전 방향의 접선 방향입니다. $\vec{V}_{A}$ 는 크기도 알고 있습니다. $L_{2}\omega_{2}$ 입니다. 이때 아래와 같이 벡터를 합성할 수 있습니.. 2022. 7. 4. [기구학] 움직이는 링크의 속도벡터 구하기 아래와 같이 링크가 하나 있다고 합시다. 회전하며 앞뒤로 움직이는 링크입니다. 우리는 끝단 P에서의 속도를 구하고 싶은 상황입니다. 알고 있는 것은 $L,\theta,\omega, \vec{V_{A}}$ 입니다. P의 속도는 회전에 의해 발생하는 P의 속도와 A의 병진운동에 의해 발생하는 속도의 합입니다. 그림으로 나타내면 아래와 같습니다. 이때 $\vec{V}_{PA}$와 $\theta$ 를 알고 있으므로 나머지 속도도 구할 수 있습니다. 2022. 6. 30. [기구학] 한 끝이 고정된 링크의 속도벡터 구하기 아래와 같이 링크가 하나 있다고 합니다. 우리는 끝단 P에서의 속도를 구하고 싶은 상황입니다. 알고 있는 것은 $L,\theta,\omega$ 입니다. 1. 위치벡터 끝단 P의 위치벡터를 아래와 같이 표현할 수 있습니다. $\vec{R}=Le^{j\theta}$ 2. 속도벡터 양면을 t로 미분하면 끝단의 속도벡터가 됩니다. $\vec{V}=\frac{d\vec{R}}{dt}=\frac{dLe^{j\theta}}{dt}$ 상수 L을 앞으로 꺼내줍니다. $\vec{V}=\frac{d\vec{R}}{dt}=L\frac{de^{j\theta}}{dt}$ 체인룰을 적용합니다. $\vec{V}=\frac{d\vec{R}}{dt}=L\frac{de^{j\theta}}{d\theta}\frac{d\theta}{dt}$.. 2022. 6. 30. [기구학] 4절 크랭크-슬라이더 위치해석 (position analysis) (2) 파이썬으로 위치계산기 만들기 지난 글에서 유도한 $\theta_{3}$ 와 $L_{1}$ 공식을 파이썬으로 코딩하였습니다. $\theta_{3}=sin^{-1}\left ( \frac{L_2\sin\theta_{2}-L_{4}}{L_{3}} \right )$ $L_{1}=L_{2}\cos\theta_{2}-L_{3}\cos \theta_{3}$ known 에 각 링크 길이와 $\theta_{1}$을 넣어주면 됩니다. Norton 기구학 책의 4-2 문제를 풀어보았습니다. import numpy as np #1) known L_2=40 L_3=120 L_4=-20 theta_2=60*np.pi/180 #2) theta-3 calculation theta_3_1=np.arcsin( (L_2*np.sin(theta_2)-L_4)/(L_3.. 2022. 6. 28. [기구학] 4절 크랭크-슬라이더 위치해석 (position analysis) (1) 공식 유도 아래 그림과 같이 4절 크랭크-슬라이더가 있습니다. 주어진 값은 각 링크의 길이인 $L_{2}$,$L_{3}$,$L_{4}$와 $\theta_{2}$ 입니다. 이 값들을 이용하여 $\theta_{3}$ 와 L1을 구하는 것이 목적입니다. 벡터 방정식은 아래와 같습니다. $\vec{R}_{2}=\vec{R}_{1}+\vec{R}_{4}+\vec{R}_{3}$ 아래와 같이 이항합시다. $\vec{R}_{2}-\vec{R}_{1}-\vec{R}_{4}-\vec{R}_{3}=0$ 오일러 공식을 이용하여 복소평면의 극좌표로 변형하면 아래와같습니다. $L_{2}e^{j\theta_{2}}-L_{1}e^{j\theta_{1}}-L_{4}e^{j\theta_{4}}-L_{3}e^{j\theta_{3}}=0$ 사인,코사.. 2022. 6. 27. [기구학] 4절 링크 위치해석 (position analysis) (2) 파이썬으로 위치계산기 만들기 지난 글에서 유도한 $\theta_{3}$ 와 $\theta_{4}$ 공식을 파이썬으로 코딩하였습니다. known 에 각 링크 길이와 $\theta_{1}$을 넣어주면 됩니다. Norton 기구학 책의 4-1 문제를 풀어보았습니다. import numpy as np #1) known L_1=100 L_2=40 L_3=120 L_4=80 theta_2=40*np.pi/180 #2) theta-3 calculation A=(L_4**2-L_2**2-L_3**2-L_1**2)/(2*L_2*L_3) B=L_1/L_3 C=L_1/L_2 a=A+B*np.cos(theta_2)+np.cos(theta_2)-C b=-2*np.sin(theta_2) c=A+B*np.cos(theta_2)-np.cos(theta_2)+C.. 2022. 6. 27. [기구학] 4절 링크 위치해석 (position analysis) (1) 공식 유도 아래 그림과 같이 4절 링크가 있습니다. 주어진 값은 각 링크의 길이인 $L_{1}$,$L_{2}$,$L_{3}$,$L_{4}$와 $\theta_{2}$ 입니다. 이 값들을 이용하여 $\theta_{3}$, $\theta_{4}$ 를 구하는 것이 목적입니다. 벡터 방정식은 아래와 같습니다. $\vec{R}_{2}+\vec{R}_{3}=\vec{R}_{1}+\vec{R}_{4}$ 아래와 같이 이항합시다. $\vec{R}_{2}+\vec{R}_{3}-\vec{R}_{1}-\vec{R}_{4}=0$ 오일러 공식을 이용하여 복소평면의 극좌표로 변형하면 아래와같습니다. $L_{2}e^{j\theta_{2}}+L_{3}e^{j\theta_{3}}-L_{1}e^{j\theta_{1}}-L_{4}e^{j\theta_{.. 2022. 6. 23. [가구학] 평면운동기구 자유도 구하는 원리 설명 (그뤼블러 판별식) 평면 운동은 2차원을 가정합니다. z축이 없다고 생각하시면 됩니다. 아래와 같이 평면에 bar가 세개 놓여 있다고 합시다. 링크의 개수는 몇개인가요? 링크의 개수는 네개입니다. 바닥(ground)도 하나의 링크입니다. 바닥이 링크라는 개념을 이해하기 위해, 바닥에 링크 하나가 올려진 경우를 생각해봅시다. 이 링크는 바닥 위에서 3자유도로 자유롭게 움직일 수 있습니다. 이러한 움직임을 바닥과 링크 사이의 조인트(joint)에서 일어나는 음직임으로 이해할 수 있습니다. 바닥과 링크 사이에 3자유도인 조인트가 있는 것입니다. 따라서 바닥도 링크로 고려해야 합니다. 다시 원래 예제로 돌아갑시다. 바닥에 bar 세개가 놓여 있습니다. 링크의 개수는 4개입니다. 링크를 아래와 같이 연결했다고 합시다. 자유도를 구해.. 2022. 6. 8. [유한요소법] 7. 최소 포텐셜 에너지 원리 (3) 내부 변형에너지를 행렬형태로 위 스프링의 내부변형 에너지는 아래와 같습니다. $U=\frac{1}{2}k\left ( u_{2}-u_{1} \right )^{2}$ 위 식을 행렬 형태로도 표현할 수 있습니다. $U=\frac{1}{2}\begin{bmatrix} u_{2} & u_{1} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} k & -k\\ -k & k \end{bmatrix} \begin{bmatrix} u_{2}\\ u_{1} \end{bmatrix}$ 간단히 나타내면 아래와 같습니다. [ ]을 행렬 { } 을 열벡터 표현기호로 놓았습니다. $U=\frac{1}{2}\left \{ d \right \}^{T}\left [ k \right ]\left \{ d \right \}$ 2022. 3. 31. [유한요소법] 7. 최소 포텐셜 에너지 원리 (2) 선형 스프링 1개 아래와 그림과 같이 스프링 양 쪽에 T라는 힘이 작용하고 있습니다. 각 노드에서의 변위($u1,u2$)를 최소 포텐셜 에너지 원리를 이용하여 구하세요. 전체 포텐셜 에너지 전체 포텐셜 에너지는 내부 변형률에너지와 외부 포텐셜에너지의 합입니다. 위 그림에서 내부 변형률 에너지는 아래와 같이 정의됩니다. $U=\frac{1}{2}k\left ( u_{2}-u_{1} \right )^{2}$ 각 노드에 가해지는 힘을 $f_{1}$ 와 $f_{2}$로 놓으면 외부 포텐셜 에너지는 아래와 같이 정의됩니다. $V=-f_{1}u_{1}-f_{2}u_{2}$ 전체포텐셜 에너지는 아래와 같습니다. $\Pi=U+V=\frac{1}{2}k\left ( u_{2}-u_{1} \right )^{2}-f_{1}u_{1}-f_{2.. 2022. 3. 31. [유한요소법] 7. 최소 포텐셜 에너지 원리 (1) 개념 - 최소 퍼텐셜에너지 원리는 전체 포텐셜에너지를 최소화하도록 변위가 발생한다는 원리입니다. - 최소 포텐셜 에너지 원리(이하 MPE)는 직접강성법 보다는 일반적이고 가상일원리 보다는 그렇지 않습니다. - MPE는 plane stress/strain, plate, 3d solid 등에 적용이 가능하지만 탄성 조건에서만 적용할 수 있는 한계가 있습니다. - MPE는 변분법의 일종입니다. - 변분법 적용이 어려운 경우는 가중잔차법을 사용합니다. 물체에 힘이 가해져서 물체가 변형되는 상황을 생각해봅시다. 이때 전체 포텐셜 에너지($\Pi$)는 물체의 내부 변형률 에너지(U)와 외력의 포텐셜 에너지(V)의 합으로 정의됩니다. $\Pi=U+V$ 간단한 예제에 적용해봅시다. 스프링 상수가 k인 스프링에 F라는 힘을 .. 2022. 3. 31. [유한요소법] 6. 강성행렬 감잡기 (7) 직렬스프링+끝단고정 예제) 아래와 같이 스프링 세개가 직렬로 연결되어 있습니다. 양 끝단은 고정되어 있고, 4번 노드에 50kN 의 하중이 가해지고 있습니다. 노드 3,4 에서의 변위를 구해보세요. 변위-하중 방정식 스프링이 3개인 경우의 변위-하중 방정식은 아래와 같습니다. $\begin{bmatrix} f_{1}^{(1)}\\ f_{2}^{(1)}+f_{2}^{(2)}\\ f_{3}^{(2)}+f_{3}^{(3)}\\ f_{4}^{(3)} \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} k_{1} & -k_{1} & 0 & 0\\ -k_{1} & (k_{1}+k_{2}) &-k_{2} &0 \\ 0 & -k_{2} & (k_{2}+k_{3}) & -k_{3}\\ 0 & 0 & -k_{3} & k_{3} \end{.. 2022. 3. 31. 이전 1 2 다음 반응형
