[탄성학] 평면변형률(plane strain) 이란?

z축 방향으로 무한히 긴 실린더가 있다고 합시다. 단면은 xy 평면입니다. 이 실린더 중간쯤에 어떤 점이 있다고 합시다. (x,y,z)라는 점입니다. 이 점의 변위를 $u(x,y,z)$, $v(x,y,z)$, $w(x,y,z)$ 라고 합시다. z축 방향으로 무한히 길기 때문에 z축 방향의 변위가 없다고 가정할 수 있습니다. 따라서 $w(x,y,z)=0$이라고 가정할 수 있습니다. 또한 z 축 방향으로의 $u$, $v$ 변화가 없다고 가정할 수 있습니다. 

- $w(x,y,z)=0$
- $u(x,y,z)$, $v(x,y,z)$는 z축에 독립

 

1) 변위-변형률 관계

응력 변형률 관계에 위 가정을 대입해봅시다. 3차원에서의 응력 변형률 관계는 아래와 같습니다. 

$\varepsilon_{x}=\frac{\partial u}{\partial x}$
$\varepsilon_{y}=\frac{\partial v}{\partial y}$
$\varepsilon_{z}=\frac{\partial w}{\partial z}$
$\varepsilon_{xy}=\frac{\partial u}{\partial y}+\frac{\partial v}{\partial x}$
$\varepsilon_{yz}=\frac{\partial u}{\partial z}+\frac{\partial w}{\partial y}$
$\varepsilon_{zx}=\frac{\partial w}{\partial x}+\frac{\partial u}{\partial z}$

가정을 대입하면 위 식중 $\varepsilon_{yz}$, $\varepsilon_{zx}$, $\varepsilon_{z}$ 은 0이 됩니다. 따라서 남겨진 변형률은 아래와 같습니다. 

$\varepsilon_{x}$, $\varepsilon_{y}$, $\varepsilon_{xy}$ 

 

2) 응력 변형률 관계

$\varepsilon _{x}=\frac{1}{E}\left [ \sigma_{x}-\nu (\sigma_{y}+\sigma_{z}) \right ]$

$\varepsilon _{y}=\frac{1}{E}\left [ \sigma_{y}-\nu (\sigma_{x}+\sigma_{z}) \right ]$

$\varepsilon _{z}=\frac{1}{E}\left [ \sigma_{z}-\nu (\sigma_{x}+\sigma_{y}) \right ]$

 

$\varepsilon _{xy}=\frac{1}{G}\tau_{xy}$

 

$\varepsilon _{xz}=\frac{1}{G}\tau_{xz}$

 

$\varepsilon_{yz}=\frac{1}{G}\tau_{yz}$

 

$\varepsilon_{yz}$, $\varepsilon_{zx}$ 가 0 이므로 아래 응력이 0이 됩니다. 

 

$\tau_{xz}=0$

$\tau_{yz}=0$

 

$\varepsilon_{z}$을 이용해서 아래 수식을 변형할 수 있습니다. 

 

$\varepsilon _{z}=\frac{1}{E}\left [ \sigma_{z}-\nu (\sigma_{x}+\sigma_{y}) \right ]$

 

좌변은 0입니다. 

 

$0=\frac{1}{E}\left [ \sigma_{z}-\nu (\sigma_{x}+\sigma_{y}) \right ]$

 

따라서 $\sigma_{z}$를 나머지 응력에 대해 표현할 수 있습니다. 

 

$\sigma_{z}=\nu (\sigma_{x}+\sigma_{y})$

 

위 식을 다시 정리하면 아래와 같습니다. 

 

$\varepsilon _{x}=\frac{1}{E}\left [ \sigma_{x}-\nu (\sigma_{y}+\nu (\sigma_{x}+\sigma_{y})) \right ]$
$\varepsilon _{y}=\frac{1}{E}\left [ \sigma_{y}-\nu (\sigma_{x}+\nu (\sigma_{x}+\sigma_{y})) \right ]$
$\varepsilon _{z}=0$
$\varepsilon _{xy}=\frac{1}{G}\tau_{xy}$
$\varepsilon _{xz}=0$
$\varepsilon_{yz}=0$

 

행렬을 이용한 식으로 나타내면 아래와 같습니다. 

 

$\begin{bmatrix}
\varepsilon_{x} \\ 
\varepsilon_{y} \\ 
\varepsilon_{xy}
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
\frac{1-\nu^2}{E} & -\frac{\nu(1+\nu)}{E}  & 0 \\ 
-\frac{\nu(1+\nu)}{E} & \frac{1-\nu^2}{E} & 0 \\ 
0 & 0 & \frac{1}{G}
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
\sigma_{x} \\ 
\sigma_{y} \\ 
\tau_{xy}
\end{bmatrix}$

 

역행렬을 계산하여 아래와 같이 나타낼 수도 있습니다. 

 

$\begin{bmatrix}
\sigma_{x} \\ 
\sigma_{y} \\ 
\tau_{xy}
\end{bmatrix}
=
\frac{E}{(1+\nu)(1-2\nu)}
\begin{bmatrix}
1-\nu & \nu  & 0 \\ 
\nu & 1-\nu & 0 \\ 
0 & 0 & \frac{1-2\nu}{2}
\end{bmatrix}

\begin{bmatrix}
\varepsilon_{x} \\ 
\varepsilon_{y} \\ 
\varepsilon_{xy}
\end{bmatrix}$

 

3) 평형방정식

$\frac{\partial \sigma_{x}}{\partial x}+\frac{\partial \tau_{yx}}{\partial y}+\frac{\partial \tau_{zx}}{\partial z}+f_{x}=0$

$\frac{\partial \tau_{xy}}{\partial x}+\frac{\partial \sigma_{y}}{\partial y}+\frac{\partial \tau_{zy}}{\partial z}+f_{y}=0$

$\frac{\partial \tau_{xz}}{\partial x}+\frac{\partial \tau_{yz}}{\partial y}+\frac{\partial \sigma_{z}}{\partial z}+f_{z}=0$

 

이때 $\tau_{zx}=\tau_{zy}=0$ 이고 z방향으로의 $\sigma_{z}$ 변화는 없다고 가정했으므로 위 식은 아래와 같이 변형됩니다. 

 

$\frac{\partial \sigma_{x}}{\partial x}+\frac{\partial \tau_{yx}}{\partial y}+f_{x}=0$

$\frac{\partial \tau_{xy}}{\partial x}+\frac{\partial \sigma_{y}}{\partial y}+f_{y}=0$

 

4) 구해야하는 것들

6개의 변형률과 6개의 응력 중 일부는 평면 변형률 가정에 의해 0이 됩니다. 남겨진 변형률과 응력은 아래와 같습니다. 우리가 평면변형률 문제에서 구해야 하는 변수들입니다. 

 

(변형률)

$\varepsilon_{x}$, $\varepsilon_{y}$, $\varepsilon_{xy}$ 

 

(응력)

$\sigma_{x}$, $\sigma_{y}$,$\tau_{xy}$

 

(응력 관계식)

$\sigma_{z}=\nu (\sigma_{x}+\sigma_{y})$