[탄성학] Airy 응력함수 (Airy stress function)

1. 배경

탄성학에서 고체의 변형 문제를 풀기 위해서는 15개의 연립미분방정식을 풀어야 합니다. 

15개의 방정식은 평형방정식 3개, 변형률-변위 관계식 6개, 응력-변형률 관계식 6개입니다. 미지의 변수는 응력 요소 6개, 변형률 6개, 변위 3개로 방정식의 수와 같습니다. 

하지만 실제로 이 연립방정식을 푸는 것은 불가능합니다. 

학자들은 문제를 단순화하기 위해 몇가지 가정을 추가하여 탄성론의 하위 카테고리들을 만들었습니다. 그 카테고리 중에 평면응력과 평면변형률도 있습니다. 평면응력과 평면변형률 가정을 하면 15개의 방정식은 아래와 같이 하나의 방정식으로 축약됩니다. 

$\left ( \frac{\partial^2}{\partial x^2}+\frac{\partial^2}{\partial y^2} \right )\left ( \sigma_{x}+\sigma_{y} \right )=0$

방정식 하나에 미지수가 2개이므로 이 식만가지고는 풀 수 없습니다. 

이런 상황에서 airy 는 stress function 이라는 아이디어를 생각하게 됩니다. 

 

2. stress function (응력함수)

airy 가 떠올린 응력함수는 x,y 라는 변수를 갖는 함수입니다. 아래와 같은 이름을 먼저 붙이겠습니다. 

$\phi(x,y)$

airy 는 이 함수를 하나 구해놓으면, 이 함수를 x나 y로 편미분해서 응력요소들을 구할 수 있기를 원했습니다. 

이때 고려해야할 사항이 있습니다. 이 함수로 구한 응력요소들은 평형방정식과 적합방정식을 만족해야합니다. body force는 없다고 가정하였습니다. 

<평형방정식>
$\frac{\partial \sigma_{x}}{\partial x}+\frac{\partial \tau_{yx}}{\partial y}=0$  (1)
$\frac{\partial \tau_{xy}}{\partial x}+\frac{\partial \sigma_{y}}{\partial y}=0$  (2)

<적합방정식>
$\left ( \frac{\partial^2}{\partial x^2}+\frac{\partial^2}{\partial y^2} \right )\left ( \sigma_{x}+\sigma_{y} \right )=0$  (3)

몇가지 단계를 거쳐서 최종 응력함수를 도출해보겠습니다. 

(1)번 식만 가지고 함수를 하나 만들어볼 것입니다. 편미분해서 $\sigma_{x}$와 $\sigma_{xy}$를 구할 수 있는 어떤 함수 f(x,y) 가 있다고 합시다. 이 f(x,y)를 아래와 같이 고안할 수 있습니다. 

$\sigma_{x}=\frac{\partial f}{\partial y}$
$\sigma_{xy}=-\frac{\partial f}{\partial x}$

이런 형태로 함수를 만든 이유는 1번 식을 만족해야하기 때문입니다. 함수를 1번 식에 넣어보면 1번 식을 만족시킨다는 것을 알 수 있습니다. f가 어떤 함수인지는 알 수 없지만, 만약 f를 구할 수 있다면 편미분해서 $\sigma_{x}$와 $\sigma_{xy}$를 구할 수 있는 것입니다. 다만 이 f는 1번 식만을 만족시키는 함수입니다. 

이번에는 2번 식에도 이러한 함수를 하나 정의해봅시다. 편미분해서 $\sigma_{y}$와 $\sigma_{xy}$를 구할 수 있는 함수 g가 있다고 합시다. g는 아래와 같이 고안할 수 있습니다. 

$\sigma_{y}=\frac{\partial g}{\partial x}$
$\sigma_{xy}=-\frac{\partial g}{\partial y}$

위 함수는 2번 식을 만족합니다. f와 g 사이에는 아래 관계가 성립합니다. 

 

$\frac{\partial f}{\partial x}=\frac{\partial g}{\partial y}$

 

두 함수는 3번 식도 만족해야 합니다. 1,2번식은 이미 만족하는 상태이고, 3번식을 만족해야한다는 것은 '조건'입니다. f와 g를 3번 식에 대입하면 아래와 같습니다. 

$\left (\frac{\partial^2}{\partial x^2}+\frac{\partial^2}{\partial y^2} \right )\left ( \frac{\partial f}{\partial y}+\frac{\partial g}{\partial x} \right )=0$

stress 함수 두개를 구해야합니다. airy는 함수를 하나로 만들고 싶었습니다. airy 가 찾고싶은 함수는 1,2번식을 모두 만족하면서 편미분해서 $\sigma_{x}$, $\sigma_{y}$, $\tau_{xy}$ 를 모두 구할 수 있는 함수입니다. f와 g를 이용하면 이 함수를 고안할 수 있습니다. 이 함수 이름을 $\phi(x,y)$라고 놓겠습니다. 함수는 아래와 같이 만들면 됩니다. 

$\frac{\partial \phi}{\partial y}=f$
$\frac{\partial \phi}{\partial x}=g$

이 함수를 이용하면 응력들을 아래와 같이 구할 수 있습니다. 

$\sigma_{x}=\frac{\partial^2 \phi}{\partial y^2}$
$\sigma_{y}=\frac{\partial^2 \phi}{\partial x^2}$
$\sigma_{xy}=-\frac{\partial^2 \phi}{\partial x \partial y}$

 

이 함수를 3번식에 대입합시다. 

$\left ( \frac{\partial^2}{\partial x^2}+\frac{\partial^2}{\partial y^2} \right )\left ( \frac{\partial^2 \phi}{\partial y^2}+\frac{\partial^2 \phi}{\partial x^2} \right )=0$ (4)

 

아래와 같이 변형합시다. 

 

$\left ( \frac{\partial^2}{\partial x^2}+\frac{\partial^2}{\partial y^2} \right )\left ( \frac{\partial^2 }{\partial y^2}+\frac{\partial^2 }{\partial x^2} \right )\phi=0$

 

좌변의 첫번째와 두번째 항은 라플라스 연산자입니다. 따라서 아래와 같이 변형됩니다. 

 

$\bigtriangledown^2 \bigtriangledown^2 \phi=0$

 

아래와 같이 축약하여 나타낼 수 있습니다. 

 

$\bigtriangledown^4 \phi=0$

 

또는 (4)번식을 전개한 형태로 나타낼 수도 있습니다. 아래와 같습니다. 

 

$\frac{\partial^4 \phi}{\partial x^4}+2\frac{\partial^2 \phi}{\partial x^2}\frac{\partial^2 \phi}{\partial y^2}+\frac{\partial^4 \phi}{\partial y^4}=0$

 

위 식을 만족하는 함수를 biharmonic 하다고 합니다. 

 

3. 응력함수 구하기

물체가 어떤 힘을 받아서 변형된 상황을 가정해봅시다. 이때의 응력함수를 $\phi$라고 놓겠습니다. 이 응력함수는 어떻게 구할 수 있을까요? 이 응력함수는 일단 아래 수식을 만족해야 합니다. 

 

$\frac{\partial^4 \phi}{\partial x^4}+2\frac{\partial^2 \phi}{\partial x^2}\frac{\partial^2 \phi}{\partial y^2}+\frac{\partial^4 \phi}{\partial y^4}=0$

 

위 수식을 만족하는 함수는 무수히 많이 만들어낼 수 있습니다. 일단 3차 이하의 다항함수는 위 수식을 만족합니다. 예를 들어 $\phi$ 를 아래와 같이 놓으면 위 수식은 만족됩니다. 

 

 

 

 

 

 

3. 고찰

 

응력과 관련된 수식을 모아보면 아래와 같습니다. 평형방정식과 응력에 대한 적합방정식입니다. 

 

<평형방정식>
$\frac{\partial \sigma_{x}}{\partial x}+\frac{\partial \tau_{yx}}{\partial y}=0$  (1)
$\frac{\partial \tau_{xy}}{\partial x}+\frac{\partial \sigma_{y}}{\partial y}=0$  (2)

<적합방정식>
$\left ( \frac{\partial^2}{\partial x^2}+\frac{\partial^2}{\partial y^2} \right )\left ( \sigma_{x}+\sigma_{y} \right )=0$  (3)

 

힘이 평형을 이루고 있는 물체에서 위 수식이 성립합니다. 반대로 우리는 위 수식을 만족하는 응력들을 만들어낼 수 있습니다. 모든 응력이 상수하면, 위 두 수식을 만족합니다.