반응형 동역학/OLD11 [동역학] 13. 곡선위를 움직이는 점의 순간속도와 순간가속도를 법선벡터와 접선벡터로 나타내기 한 점이 곡선 위를 움직이고 있습니다. 점 P에서의 순간 속도의 크기를 v, 접선벡터를 $\vec{e}_{t}$ 라고 할 때, 순간 속도벡터는 아래와 같이 표현됩니다. $\vec{v}=v \vec{e}_{t}$ 양변을 미분하면 가속도 벡터를 구할 수 있습니다. 미분합시다. $\vec{a}=\frac{d \vec{v}}{dt}=\frac{dv}{dt}\vec{e}_{t}+v\frac{d \vec{e}_{t}}{dt}$ 두번째 항에 아래와 같이 체인룰을 적용할 수 있습니다. $\vec{a}=\frac{d \vec{v}}{dt}=\frac{dv}{dt}\vec{e}_{t}+v\frac{d \vec{e}_{t}}{d \theta}\frac{d \theta}{ds}\frac{ds}{dt}$ $\frac{d \ve.. 2022. 4. 11. [동역학] 접선벡터와 법선벡터 관계식 유도 3차원 곡선 위의 한 점에서 법선(normal)방향의 단위벡터와 접선(tangent) 방향의 단위벡터를 정의할 수 있습니다. 기호로 아래와 같이 나타냅니다. 단위 법선 벡터 : $\vec{e}_{n}$ 단위 접선 벡터 : $\vec{e}_{t}$ 그림으로 나타내면 아래와 같습니다. 점 P가 P'으로 이동했다고 합시다. 이동한 P'의 접선벡터를 $\vec{e}'_{t}$라고 놓겠습니다. 아래 그림과 같이 두 점 사이의 변위벡터를 $\Delta \vec{e}_{t}$ 라고 놓겠습니다. $\vec{e}'_{t}$ 와 $\vec{e}_{t}$ 를 따로 그리면 아래와 같습니다. 사이 각도는 $\Delta \theta$로 놓겠습니다. $\Delta \vec{e}_{t}$ 는 아래와 같이 표현됩니다. $\Delta .. 2022. 4. 11. [동역학] 입자의 곡선운동 예제 : 포물선 운동 입자를 $t=0$시간에 원점에서 초기속도 $\vec{v}_{0}$ 로 던졌다고 합시다. 대각선 위 방향으로 입자를 던졌다고 생각하면 됩니다. 초기 속도벡터는 아래와 같습니다. $\vec{v}_{0}=\left [ (v_{x})_{0},(v_{y})_{0},(v_{z})_{0} \right ]$ 위(하늘) 방향을 z라고 하겠습니다. 가속도는 아래와 같습니다. $\vec{a}=\left [ 0,0,-g \right ]$ 가속도로 부터 시간 t에서의 속도를 구하면 아래와 같습니다. 가속도가 일정한 경우의 속도 수식인 $v=v_{0}+at$를 이용합니다. $\vec{v}=\left [ (v_{x})_{0},(v_{y})_{0},(v_{z})_{0}-gt \right ]$ 속도로 부터 시간 t에서의 변위를 구하면.. 2021. 7. 23. [동역학] 3차원에서 입자의 곡선운동 3차원에서 입자의 곡선운동을 표현해봅시다. 위치, 속도, 가속도로 운동을 표현해볼 것입니다. 위치 먼저 시간 t에서의 입자의 위치를 벡터를 이용하여 표현하겠습니다. 시간 t에서 입자의 위치는 아래와 같이 표현됩니다. 원점으로 부터의 위치벡터입니다. $\vec{r}$ 이 벡터는 시간의 함수입니다. 따라서 자세히 표현하면 아래와 같습니다. $\vec{r}(t)=\left [x(t),y(t),z(t) \right ]$ 속도 $\Delta t$ 라는 시간이 흘렀고, 입자의 위치가 변했습니다. 변한 위치의 위치벡터를 $\vec{r'}$라고 합시다. 자세히 표현하면 아래와 같습니다. $\vec{r'}=\vec{r}(t+\Delta t)=\left [x(t+\Delta t),y(t+\Delta t),z(t+\Delt.. 2021. 7. 23. [동역학] 가속도가 일정한 경우의 1차원 운동(위치,속도) 가속도가 $a$ 로 일정하다고 합시다. 이때 변위와 속도를 구해봅시다. 가속도가 일정한 경우 속도 가속도가 일정한 경우의 속도는 아래 수식을 이용하여 구할 수 있습니다. $\frac{dv}{dt}=a$ 아래와 같이 변형합시다. $dv=adt$ 양변을 적분합시다. $\int_{v_{0}}^{v}dv=\int_{0}^{t}adt$ 우변의 가속도는 적분상수와 무관하므로 밖으로 꺼낼 수 있습니다. $\int_{v_{0}}^{v}dv=a\int_{0}^{t}dt$ 적분을 계산합시다. $v-v_{0}=at$ 이항합시다. $v=v_{0}+at$ 가속도가 일정한 경우 위치 가속도가 일정한 경우의 변위는 위에서 구한 속도 수식과 아래 수식을 이용하여 구할 수 있습니다. $\frac{dx}{dt}=v$ 위에서 구한 속도수.. 2021. 7. 22. [동역학] 속도가 일정한 경우의 1차원 운동(위치,가속도) 속도가 $v$로 일정하다고 합시다. 이때 변위와 가속도를 구해봅시다. 속도가 일정한 경우의 위치 변위는 아래 수식을 통해 구할 수 있습니다. $\frac{dx}{dt}=v$ 아래와 같이 변형합시다. $dx=vdt$ 양변을 적분합시다. $\int_{x_{0}}^{x}dx=\int_{0}^{t}vdt$ 속도는 적분과 관계 없으므로 밖으로 꺼낼 수 있습니다. $\int_{x_{0}}^{x}dx=v\int_{0}^{t}dt$ 양변을 계산합시다. x-x_{0}=vt 이항합시다. 변위를 구하였습니다. $x=x_{0}+vt$ 속도가 일정한 경우의 가속도 이번에는 가속도를 구해봅시다. 아래 수식을 이용합니다. $\frac{dv}{dt}=a$ v가 상수이므로 t로 미분하면 0입니다. 따라서 가속도는 0입니다. 2021. 7. 22. [동역학] 가속도가 변위의 함수로 주어진 경우 1차원 운동 가속도가 변위의 함수로 주어진 경우 아래 수식을 아용하여 속도를 변위의 함수로 표현할 수 있습니다. $vdv=adx$ 가속도가 $a=f(x)$ 로 주어졌다고 합시다. 위 수식에 대입하고 적분하면 아래와 같습니다. $\int_{v_{0}}^{v}vdv=\int_{x_{0}}^{x}f(x)dx$ 좌변은 계산이 가능합니다. $\frac{1}{2}v^{2}-\frac{1}{2}v_{0}^{2}=\int_{x_{0}}^{x}f(x)dx$ 2021. 7. 22. [동역학] 가속도가 시간의 함수로 주어진 경우 1차원 운동 (위치,속도) 변위가 시간의 함수로 주어져 있는 경우에는 미분을 통해 속도, 가속도를 구할 수 있습니다. 반면 가속도가 시간의 함수로 주어져 있는 경우에는 적분을 통해 속도와 변위를 구할 수 있습니다. 시간에 따른 가속도가 a=f(t)로 주어져 있다고 합시다. 속도 시간 t에서의 속도는 아래와 같이 구합니다. $$\begin{align} \int_{v_{0}}^{v}dv &=\int_{0}^{t}f(t)dt \\ v-v_{0}&=\int_{0}^{t}f(t)dt \\ v&=v_{0}+\int_{0}^{t}f(t)dt \end{align}$$ 위치 위해서 구한 속도도 t에 대한 함수입니다. g(t)라고 놓겠습니다. 시간 t에서의 변위는 아래와 같이 구합니다. $$\begin{align} \int_{x_{0}}^{x}dx.. 2021. 7. 20. [동역학] 1차원에서의 위치,변위,속도,가속도 예제 풀이 1차원에서 입자의 위치가 시간의 함수로 주어져 있다고 합시다. $x=1-5t^2+2t^3$ 시간 t에서 입자의 순간속도는 아래와 같습니다. $v=\frac{dx}{dt}=-10t+6t^2$ 시간 t에서 입자의 순간가속도는 아래와 같습니다. $a=\frac{dv}{dt}=-10+12t$ 2021. 7. 19. [동역학] 시간이 소거된 변위,속도,가속도 수식 지난시간에 배운 순간속도, 순간가속도의 정의는 아래와 같습니다. $v=\frac{dx}{dt}$ $a=\frac{dv}{dt}$ 두 식을 아래와 같이 변형합시다. $dt=\frac{1}{v}dx$ $dt=\frac{1}{a}dv$ 따라서 아래 등식이 성립합니다. $\frac{1}{v}dx=\frac{1}{a}dv$ 아래와 같이 변형합시다. $a=v\frac{dv}{dx}$ 2021. 7. 19. [동역학] 1차원에서의 위치,변위,속도,가속도 1차원에서 운동하는 물체가 있다고 합시다. 직선 위를 운동하는 입자를 상상할 수 있습니다. 위치 직선 위의 한 위치를 원점으로 정의합시다. 원점은 O라고 부릅니다. 이제 입자의 위치를 원점으로 부터의 거리로 나타낼 수 있습니다. 입자가 원점으로 부터 오른쪽으로 x만큼 이동했다면 입자의 위치는 x입니다. 변위 변위는 "위치의 변화"입니다. 입자가 x라는 위치에서 x' 으로 이동했다면 변위는 아래와 같습니다. $\Delta x = x'-x$ 1차원에서는 이동거리와 변위가 같습니다. 2차원 이상이 되면 이동거리와 변위가 달라질 수 있습니다. 평균속도 이제 시간을 추가해봅시다. 입자가 시간 t동안 원점에서 x라는 위치로 이동했고, 이후 $\Delta t$동안 x 에서 x' 으로 이동했다고 합시다. 평균속도는 아.. 2021. 7. 9. 이전 1 다음 반응형
