[유한요소법] 7. 최소 포텐셜 에너지 원리 (1) 개념

- 최소 퍼텐셜에너지 원리는 전체 포텐셜에너지를 최소화하도록 변위가 발생한다는 원리입니다. 
- 최소 포텐셜 에너지 원리(이하 MPE)는 직접강성법 보다는 일반적이고 가상일원리 보다는 그렇지 않습니다. 
- MPE는 plane stress/strain, plate, 3d solid 등에 적용이 가능하지만 탄성 조건에서만 적용할 수 있는 한계가 있습니다. 
- MPE는 변분법의 일종입니다. 
- 변분법 적용이 어려운 경우는 가중잔차법을 사용합니다. 

물체에 힘이 가해져서 물체가 변형되는 상황을 생각해봅시다. 이때 전체 포텐셜 에너지($\Pi$)는 물체의 내부 변형률 에너지(U)와 외력의 포텐셜 에너지(V)의 합으로 정의됩니다. 

$\Pi=U+V$

간단한 예제에 적용해봅시다. 스프링 상수가 k인 스프링에 F라는 힘을 가했고, x만큼 늘어났다고 합시다. 

이때 내부 변형률에너지와 외력의 포텐셜 에너지는 아래와 같습니다. 

$U=\frac{1}{2}kx^{2}$

$V=-Fx$

외력의 포텐셜 에너지가 음수인 이유는 물체에 일을 하며 에너지를 잃기 때문입니다. 

전체 포텐셜 에너지는 아래와 같습니다. 

$\Pi=\frac{1}{2}kx^{2}-Fx$

우변을 보면 알 수 있듯 전체 포텐셜 에너지는 변위의 함수입니다. 

$\Pi(x)=\frac{1}{2}kx^{2}-Fx$

이 포텐셜에너지를 최소화하도록 x를 정하면 됩니다. 함수의 최솟값을 구하는 문제입니다.