[유한요소법] 6. 강성행렬 감잡기 (7) 직렬스프링+끝단고정

예제) 아래와 같이 스프링 세개가 직렬로 연결되어 있습니다. 양 끝단은 고정되어 있고, 4번 노드에 50kN 의 하중이 가해지고 있습니다. 노드 3,4 에서의 변위를 구해보세요. 

 

 

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변위-하중 방정식

스프링이 3개인 경우의 변위-하중 방정식은 아래와 같습니다. 

 

$\begin{bmatrix}
f_{1}^{(1)}\\ 
f_{2}^{(1)}+f_{2}^{(2)}\\ 
f_{3}^{(2)}+f_{3}^{(3)}\\ 
f_{4}^{(3)}
\end{bmatrix}
=\begin{bmatrix}
k_{1} & -k_{1}  & 0 & 0\\ 
-k_{1} & (k_{1}+k_{2}) &-k_{2}  &0 \\ 
0 & -k_{2} & (k_{2}+k_{3}) & -k_{3}\\ 
0 & 0 & -k_{3} & k_{3} 
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
u_{1}\\ 
u_{2}\\ 
u_{3}\\ 
u_{4}
\end{bmatrix}$

 

자세한 설명은 아래 링크를 참고하세요.

https://forajont.tistory.com/266

 

문제에서 주어진 k값을 대입해주면 아래와 같습니다. 

 

$\begin{bmatrix}
f_{1}^{(1)}\\ 
f_{2}^{(1)}+f_{2}^{(2)}\\ 
f_{3}^{(2)}+f_{3}^{(3)}\\ 
f_{4}^{(3)}
\end{bmatrix}
=\begin{bmatrix}
100 & -100  & 0 & 0\\ 
-100 & 300 &-200  &0 \\ 
0 & -200 & 500 & -300\\ 
0 & 0 & -300 & 300 
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
u_{1}\\ 
u_{2}\\ 
u_{3}\\ 
u_{4}
\end{bmatrix}$

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경계,하중조건 대입하기

경계조건과 하중조건을 대입하면 아래와 같습니다. 

 

$\begin{bmatrix}
f_{1}^{(1)}\\ 
0\\ 
5000\\ 
f_{4}^{(3)}
\end{bmatrix}
=\begin{bmatrix}
100 & -100  & 0 & 0\\ 
-100 & 300 &-200  &0 \\ 
0 & -200 & 500 & -300\\ 
0 & 0 & -300 & 300 
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
0\\ 
u_{2}\\ 
u_{3}\\ 
0
\end{bmatrix}$

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변위 계산하기

위 연립방정식에서 아래와 같은 연립방정식을 끌어낼 수 있습니다. 

 

$\begin{bmatrix}
0\\ 
5000
\end{bmatrix}
=\begin{bmatrix}
300 & -200\\ 
-200 & 500
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
u_{2}\\ 
u_{3}
\end{bmatrix}$

 

전개 한 후 연립방정식을 풀어줍니다. 

 

$0=300u_{2}-200u_{3}$

$5000=-200u_{2}+500u_{3}$

 

첫번째 식을 아래와 같이 변형합니다. 

 

$u_{3}=\frac{3}{2}u_{2}$ 

 

두번째 식에 대입합니다. 

 

$5000=-200u_{2}+750u_{2}$

 

$u_{2}$ 를 계산합니다. 

 

$u_{2}=\frac{100}{11}$

 

$u_{3}$도 계산합니다. 

 

$u_{3}=\frac{150}{11}$