[유한요소법] 7. 최소 포텐셜 에너지 원리 (2) 선형 스프링 1개

아래와 그림과 같이 스프링 양 쪽에 T라는 힘이 작용하고 있습니다. 각 노드에서의 변위($u1,u2$)를 최소 포텐셜 에너지 원리를 이용하여 구하세요. 

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전체 포텐셜 에너지

전체 포텐셜 에너지는 내부 변형률에너지와 외부 포텐셜에너지의 합입니다. 위 그림에서 내부 변형률 에너지는 아래와 같이 정의됩니다. 

 

$U=\frac{1}{2}k\left ( u_{2}-u_{1} \right )^{2}$

 

각 노드에 가해지는 힘을 $f_{1}$ 와 $f_{2}$로 놓으면 외부 포텐셜 에너지는 아래와 같이 정의됩니다. 

 

$V=-f_{1}u_{1}-f_{2}u_{2}$

 

전체포텐셜 에너지는 아래와 같습니다. 

 

$\Pi=U+V=\frac{1}{2}k\left ( u_{2}-u_{1} \right )^{2}-f_{1}u_{1}-f_{2}u_{2}$

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최솟값 구하기

각 노드 변위 별로 편미분한 값이 0이 나오면 됩니다. 

 

$\frac{\partial \Pi}{\partial u_{1}}=-k\left ( u_{2}-u_{1} \right )-f_{1}=0$

 

$\frac{\partial \Pi}{\partial u_{2}}=k\left ( u_{2}-u_{1} \right )-f_{2}=0$

 

행렬 형태로 표현하면 아래와 같습니다. 

 

$\begin{bmatrix}
f_{1}\\ 
f_{2}
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
k &-k \\ 
-k &k 
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
u_{1}\\ 
u_{2}
\end{bmatrix}$

 

직접강성법을 사용했을 때와 결과가 같습니다.