[탄성학] 3차원에서 주응력 및 방향코사인 구하는 방법

주응력 구하는 방법

3차원에서 주응력을 구하는 수식은 아래와 같습니다. $\sigma_{p}$가 주응력입니다. 

$\sigma_{p}^3-I_{1}\sigma_{p}^2+I_{2}\sigma_{p}-I_{3}=0$

위 3차방정식의 해를 구하면 됩니다. I들은 아래와 같습니다. 

$I_{1}=\sigma_{x}+\sigma_{y}+\sigma_{z}$

$l_{2}=\sigma_{x}\sigma_{y}+\sigma_{x}\sigma_{z}+\sigma_{y}\sigma_{z}-\tau_{xy}^2-\tau_{yz}^2-\tau_{xz}^2$

$I_{3}=\begin{vmatrix}
\sigma_{x} & \tau_{xy} & \tau_{xz} \\ 
\tau_{xy} & \sigma_{y} & \tau_{yz} \\ 
\tau_{xz} & \tau_{yz} & \sigma_{z} 
\end{vmatrix}$

I를 불변량이라고 부릅니다. 주응력은 항상 일정하기 때문에 3차 방정식의 계수들도 일정해야 합니다. 

 

방향코사인 구하는 방법

아래 식에 위에서 구한 주응력을 대입하여 풀어줍니다. 주응력은 세개가 있으므로 총 세쌍의 방향코사인이 나옵니다. l,m,n 을 구하는 것입니다. 

 

$(\sigma_{x}-\sigma_{p})l+\tau_{xy}m+\tau_{xz}n=0$

$\tau_{xy}l+(\sigma_{y}-\sigma_{p})m+\tau_{yz}n=0$

$\tau_{xz}l+\tau_{yz}m+(\sigma_{z}-\sigma_{p})n=0$

 

아래와 같이 행렬 형태로 써 줄 수도 있습니다. 

 

$\begin{bmatrix}
\sigma_{x}-\sigma_{p} & \tau_{xy} & \tau_{xz} \\ 
\tau_{xy} & \sigma_{y}-\sigma_{p}  & \tau_{yz} \\ 
\tau_{xz} & \tau_{yz}  & \sigma_{z}-\sigma_{p}
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
l\\ 
m\\ 
n
\end{bmatrix}
=0$

 

l,m,n 중 두 변수가 나머지 한 변수에 대해 표현될 것입니다. 이제 아래 식을 이용하여 값을 구해줍니다. 

 

$l^2+m^2+n^2=1$