[탄성학] 왜 수직변형률은 편미분으로 정의될까?

면저 1차원 물체부터 시작해봅시다. 아래와 같이 길이가 L선이 있습니다. 이 선이 힘을 받고 있습니다. 선은 변형이 될텐데, 선 위 각 지점에서의 변형을 u(x) 라고 정의하겠습니다. u(x)를 변형함수라고 부릅니다. 

 

 

이 선 위에 한 점 $x_{1}$ 부터 $x_{1}+\Delta x_{1}$ 사이의 평균변화율은 아래와 같이 정의됩니다. 

 

$\frac{u(x_{1}+\Delta x)-u(x)}{\Delta x}$

 

$x_{1}$ 에서의 변화율은 아래와 같이 정의됩니다. 

 

$\varepsilon_{x}(x_{1})=\lim_{\Delta x \rightarrow 0}\frac{u(x_{1}+\Delta x)-u(x)}{\Delta x}=
\left.\begin{matrix}
\frac{du(x)}{dx}
\end{matrix}\right|_{x=x_{1}}$

 

직선 위 임의의 점 x에서의 변화율은 아래와 같이 정의됩니다. 

 

$\varepsilon_{x}(x)=\frac{du(x)}{dx}$

 

이번에는 차원을 확장해봅시다. 2차원입니다. 아래 그림과 같이 어떤 2차원 물체가 있습니다. 이 물체 위의 한 점 $(x_{1},y_{1})$ 에서의 변화율을 구해봅시다.

 

 

2차원 물체에 있는 어떤 점이 변형되는 방향은 하나가 아닙니다. 무한개의 방향이 있고 각 방향별로 변형이 다를 것입니다. 사실 점이 여러 방향으로 변형된다는 것 자체가 말이 안되는 이야기이긴 하지만, 극한의 개념을 다루고 있기 때문에 직관적으로 이해하기는 어렵습니다. 수많은 방향 중에 x 방향으로의 변형률을 정의해봅시다. 위 그림 처럼 B라는 점을 정의하고, AB라는 선에서 변형률을 정의하면 됩니다. A와 B의 y값은 동일합니다. A에서의 변형률은 아래와 같이 정의됩니다. 

 

$\varepsilon_{x}(x_{1},y_{1})=\lim_{\Delta x \rightarrow 0}\frac{u(x_{1}+\Delta x, y_{1})-u(x_{1},y_{1})}{\Delta x}$

 

위 식은 x에서의 편미분의 정의입니다. 편미분은 위와 같은 맥락에서 등장합니다. 우변을 편미분 식으로 표현하면 아래와 같습니다. 

 

$\varepsilon_{x}(x_{1},y_{1})=\frac{\partial u(x=x_{1},y=y_{1})}{\partial x}$

 

x,y 에서의 x방향 변형률은 아래와 같이 정의됩니다. 

 

$\varepsilon_{x}(x,y)=\frac{\partial u(x,y)}{\partial x}$