[탄성학] 평면응력(plane stress)이란 무엇인가

평면 응력은 물체가 너무 얇아서 z 방향 응력이 무시할 수 있을 만큼 작은 상태를 말합니다. z방향 응력이 모두 0이 됩니다. 

 

$\sigma_{z}=0$

$\tau_{zx}=0$

$\tau_{zy}=0$

 

따라서 응력은 아래와 같이 평면에 작용하는 응력 셋만 남습니다. 

 

$\sigma_{x}=0$

$\sigma_{y}=0$

$\tau_{xy}=0$

 

응력 변형률 관계 먼저 살펴봅시다 .

 

1) 응력-변형률 관계

$\varepsilon _{x}=\frac{1}{E}\left [ \sigma_{x}-\nu (\sigma_{y}+\sigma_{z}) \right ]$
$\varepsilon _{y}=\frac{1}{E}\left [ \sigma_{y}-\nu (\sigma_{x}+\sigma_{z}) \right ]$
$\varepsilon _{z}=\frac{1}{E}\left [ \sigma_{z}-\nu (\sigma_{x}+\sigma_{y}) \right ]$

$\varepsilon _{xy}=\frac{1}{G}\tau_{xy}$

$\varepsilon _{xz}=\frac{1}{G}\tau_{xz}$

$\varepsilon_{yz}=\frac{1}{G}\tau_{yz}$

 

위 식은 아래와 같이 변형됩니다. 

 

$\varepsilon _{x}=\frac{1}{E}\left [ \sigma_{x}-\nu (\sigma_{y}) \right ]$
$\varepsilon _{y}=\frac{1}{E}\left [ \sigma_{y}-\nu (\sigma_{x}) \right ]$
$\varepsilon _{z}=0$

$\varepsilon _{xy}=\frac{1}{G}\tau_{xy}$

$\varepsilon _{xz}=0$

$\varepsilon_{yz}=0$

 

행렬을 이용한 식으로 나타내면 아래와 같습니다. 

 

$\begin{bmatrix}
\varepsilon_{x} \\ 
\varepsilon_{y} \\ 
\varepsilon_{xy}
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
\frac{1}{E} & -\frac{\nu}{E}  & 0 \\ 
-\frac{\nu}{E} & \frac{1}{E} & 0 \\ 
0 & 0 & \frac{1}{G}
\end{bmatrix}

\begin{bmatrix}
\sigma_{x} \\ 
\sigma_{y} \\ 
\tau_{xy}
\end{bmatrix}$

 

역행렬을 계산하여 아래와 같이 나타낼 수도 있습니다. 

 

$\begin{bmatrix}
\sigma_{x} \\ 
\sigma_{y} \\ 
\tau_{xy}
\end{bmatrix}
=
\frac{E}{1-\nu^2}

\begin{bmatrix}
1 & \nu & 0 \\ 
\nu & 1 & 0 \\ 
0 & 0 & \frac{1-\nu}{2}
\end{bmatrix}

\begin{bmatrix}
\varepsilon_{x} \\ 
\varepsilon_{y} \\ 
\varepsilon_{xy}
\end{bmatrix}$

 

2) 변형률 변위 관계식

위에서 구한 결과를 대입하면 아래와 같습니다. 

 

$\varepsilon_{x}=\frac{\partial u}{\partial x}$
$\varepsilon_{y}=0$
$\varepsilon_{z}=0$
$\varepsilon_{xy}=\frac{\partial u}{\partial y}+\frac{\partial v}{\partial x}$
$\varepsilon_{yz}=0$
$\varepsilon_{zx}=0$

 

3) 평형방정식

$\frac{\partial \sigma_{x}}{\partial x}+\frac{\partial \tau_{yx}}{\partial y}+\frac{\partial \tau_{zx}}{\partial z}+f_{x}=0$

$\frac{\partial \tau_{xy}}{\partial x}+\frac{\partial \sigma_{y}}{\partial y}+\frac{\partial \tau_{zy}}{\partial z}+f_{y}=0$

$\frac{\partial \tau_{xz}}{\partial x}+\frac{\partial \tau_{yz}}{\partial y}+\frac{\partial \sigma_{z}}{\partial z}+f_{z}=0$

 

이때 $\tau_{zx}=\tau_{zy}=\sigma_{z}=0$ 이므로 위 식은 아래와 같이 변형됩니다. 

 

$\frac{\partial \sigma_{x}}{\partial x}+\frac{\partial \tau_{yx}}{\partial y}+f_{x}=0$

$\frac{\partial \tau_{xy}}{\partial x}+\frac{\partial \sigma_{y}}{\partial y}+f_{y}=0$