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기계공학 기타과목/탄성학

[탄성학] 평면응력(plane stress)이란 무엇인가

by bigpicture 2024. 4. 14.
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평면 응력은 물체가 너무 얇아서 z 방향 응력이 무시할 수 있을 만큼 작은 상태를 말합니다. z방향 응력이 모두 0이 됩니다. 

 

σz=0

τzx=0

τzy=0

 

따라서 응력은 아래와 같이 평면에 작용하는 응력 셋만 남습니다. 

 

σx=0

σy=0

τxy=0

 

응력 변형률 관계 먼저 살펴봅시다 .

 

1) 응력-변형률 관계

εx=1E[σxν(σy+σz)]
εy=1E[σyν(σx+σz)]
εz=1E[σzν(σx+σy)]

εxy=1Gτxy

εxz=1Gτxz

εyz=1Gτyz

 

위 식은 아래와 같이 변형됩니다. 

 

εx=1E[σxν(σy)]
εy=1E[σyν(σx)]
εz=0

εxy=1Gτxy

εxz=0

εyz=0

 

행렬을 이용한 식으로 나타내면 아래와 같습니다. 

 

[εxεyεxy]=[1EνE0νE1E0001G][σxσyτxy]

 

역행렬을 계산하여 아래와 같이 나타낼 수도 있습니다. 

 

[σxσyτxy]=E1ν2[1ν0ν10001ν2][εxεyεxy]

 

2) 변형률 변위 관계식

위에서 구한 결과를 대입하면 아래와 같습니다. 

 

εx=ux
εy=0
εz=0
εxy=uy+vx
εyz=0
εzx=0

 

3) 평형방정식

σxx+τyxy+τzxz+fx=0

τxyx+σyy+τzyz+fy=0

τxzx+τyzy+σzz+fz=0

 

이때 τzx=τzy=σz=0 이므로 위 식은 아래와 같이 변형됩니다. 

 

σxx+τyxy+fx=0

τxyx+σyy+fy=0

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