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평면 응력은 물체가 너무 얇아서 z 방향 응력이 무시할 수 있을 만큼 작은 상태를 말합니다. z방향 응력이 모두 0이 됩니다.
σz=0
τzx=0
τzy=0
따라서 응력은 아래와 같이 평면에 작용하는 응력 셋만 남습니다.
σx=0
σy=0
τxy=0
응력 변형률 관계 먼저 살펴봅시다 .
1) 응력-변형률 관계
εx=1E[σx−ν(σy+σz)]
εy=1E[σy−ν(σx+σz)]
εz=1E[σz−ν(σx+σy)]
εxy=1Gτxy
εxz=1Gτxz
εyz=1Gτyz
위 식은 아래와 같이 변형됩니다.
εx=1E[σx−ν(σy)]
εy=1E[σy−ν(σx)]
εz=0
εxy=1Gτxy
εxz=0
εyz=0
행렬을 이용한 식으로 나타내면 아래와 같습니다.
[εxεyεxy]=[1E−νE0−νE1E0001G][σxσyτxy]
역행렬을 계산하여 아래와 같이 나타낼 수도 있습니다.
[σxσyτxy]=E1−ν2[1ν0ν10001−ν2][εxεyεxy]
2) 변형률 변위 관계식
위에서 구한 결과를 대입하면 아래와 같습니다.
εx=∂u∂x
εy=0
εz=0
εxy=∂u∂y+∂v∂x
εyz=0
εzx=0
3) 평형방정식
∂σx∂x+∂τyx∂y+∂τzx∂z+fx=0
∂τxy∂x+∂σy∂y+∂τzy∂z+fy=0
∂τxz∂x+∂τyz∂y+∂σz∂z+fz=0
이때 τzx=τzy=σz=0 이므로 위 식은 아래와 같이 변형됩니다.
∂σx∂x+∂τyx∂y+fx=0
∂τxy∂x+∂σy∂y+fy=0
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