[기구학] 한 끝이 고정된 링크의 속도벡터 구하기

아래와 같이 링크가 하나 있다고 합니다. 

 

 

우리는 끝단 P에서의 속도를 구하고 싶은 상황입니다. 알고 있는 것은 $L,\theta,\omega$ 입니다. 

 

1. 위치벡터

끝단 P의 위치벡터를 아래와 같이 표현할 수 있습니다. 

 

$\vec{R}=Le^{j\theta}$

 

2. 속도벡터

양면을 t로 미분하면 끝단의 속도벡터가 됩니다. 

 

$\vec{V}=\frac{d\vec{R}}{dt}=\frac{dLe^{j\theta}}{dt}$

 

상수 L을 앞으로 꺼내줍니다. 

 

$\vec{V}=\frac{d\vec{R}}{dt}=L\frac{de^{j\theta}}{dt}$

 

체인룰을 적용합니다. 

 

$\vec{V}=\frac{d\vec{R}}{dt}=L\frac{de^{j\theta}}{d\theta}\frac{d\theta}{dt}$

 

우변 두번째 인수를 미분하면 아래와 같습니다. 

 

$\vec{V}=\frac{d\vec{R}}{dt}=Lje^{j\theta}\frac{d\theta}{dt}$

 

우변 세번째 인수는 각속도 오메가입니다. 

 

$\vec{V}=\frac{d\vec{R}}{dt}=Lje^{j\theta}\omega$

 

아래와 같이 바꿔씁니다. 

 

$\vec{V}=\frac{d\vec{R}}{dt}=L\omega e^{j\theta}j$

 

위치벡터 $\vec{R}$에서 $\omega j$가 곱해졌습니다. 속도벡터의 크기는 $\left | L\omega \right |$ 입니다. 방향을 알아야 하는데요. $Le^{j\theta}$ 에 $\omega j$ 가 곱해진 방향입니다. 복소좌표계에서 j를 곱하는 것의 의미를 알아봅시다. 

 

3. 복소좌표계에서 j를 곱한다는 것은?

(1,0)의 위치벡터를 복소수로 표현하면 아래와 같습니다. 

 

$1+0j$

 

j를 곱하면 아래와 같습니다. 

 

$0+j$

 

그림으로 나타내면 아래와 같습니다. 

 

 

j를 곱하면 반시계방향으로 90도 회전합니다. 반대로 -j 를 곱하면 시계방향으로 90도 회전합니다. 

 

4. 속도벡터의 방향

위에서 구한 속도 벡터 수식을 다시 봅시다. 

 

$\vec{V}=\frac{d\vec{R}}{dt}=L\omega e^{j\theta}j$

 

속도벡터는 $e^{j\theta}$ 에서 90도 회전한 방향으로 작용합니다. 시계방향인지 반시계방향인지는 오메가의 부호가 결정합니다. 오메가의 부호가 양수이면 (+j)가 곱해지는 것이므로, 반시계방향으로 90도 회전한 방향으로 작용합니다. 오메가의 부호가 음수라고 가정하고 속도벡터를 그림으로 나타내면 아래와 같습니다.