[유한요소법] 보간함수 (shape function) (1) 노드 2개

1차원 요소에 node1과 node2가 있다고 합시다. node1과 node2의 좌표를 $x_{1}$과 $x_{2}$ 라고 놓겠습니다. node1과 node2의 변위를 $u_{1}$과 $u_{2}$라고 놓겠습니다. 그래프로 그려보면 아래와 같습니다. 

 

$x_{1}$과 $x_{2}$ 사이 값들의 변위를 가정하고 싶은 상황입니다. 보간을 할 것인데요. 선형함수로 보간하겠습니다. 그림으로 먼저 표현하면 아래와 같습니다. 

 

 

u(x) 는 아래와 같이 가정할 수 있습니다. 

$u(x)=a_{0}+a_{1}x$ 

노드 좌표와 변위를 대입하면 아래 두 식을 얻을 수 있습니다. 

$a_{0}+a_{1}x=u_{1}$
$a_{0}+a_{1}x=u_{2}$

$a_{0}$과 $a_{1}$을 구해봅시다. 아래와 같이 행렬 형태의 식으로 써줍니다. 

$\begin{bmatrix}
1 & x_{1} \\ 
1 & x_{2}
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
a_{0}\\ 
a_{1}
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
u_{1}\\ 
u_{2}
\end{bmatrix}
$

좌변 행렬의 역행렬을 양변에 곱해서 아래와 같이 변형합니다. 

$\begin{bmatrix}
a_{0}\\ 
a_{1}
\end{bmatrix}
=
\frac{1}{x_{2}-x_{1}}
\begin{bmatrix}
x_{2} & -x_{1}\\ 
-1 & 1
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
u_{1}\\ 
u_{2}
\end{bmatrix}$

$a_{0}$와 $a_{1}$은 아래와 같이 계산됩니다. 

$a_{0}=\frac{x_{2}}{x_{2}-x_{1}}u_{1}-\frac{x_{1}}{x_{2}-x_{1}}u_{2}$

$a_{1}=\frac{-1}{x_{2}-x_{1}}u_{1}-\frac{1}{x_{2}-x_{1}}u_{2}$

$u(x)=a_{0}+a_{1}x$  식에 대입합니다. 

$u(x)=\frac{x_{2}}{x_{2}-x_{1}}u_{1}-\frac{x_{1}}{x_{2}-x_{1}}u_{2}-\frac{x}{x_{2}-x_{1}}u_{1}+\frac{x}{x_{2}-x_{1}}u_{2}$

아래와 같이 정리해줍니다. 

$u(x)=\frac{x_{2}-x}{x_{2}-x_{1}}u_{1}+\frac{x-x_{1}}{x_{2}-x_{1}}u_{2}$

아래와 같이 치환해줍니다. 

$N_{1}(x)=\frac{x_{2}-x}{x_{2}-x_{1}}$

$N_{2}(x)=\frac{x-x_{1}}{x_{2}-x_{1}}$

위 두 함수를 shape function 이라고 부릅니다. shape function 을 각각 그래프로 그려보면 아래와 같습니다. 

 

 

shape 함수는 자기 자신의 노드에서는 1, 다른 노드에서는 0을 갖습니다. shape function 의 주요한 특성입니다. 

변위함수는 아래와 같이 변형됩니다. 

$u(x)=N_{1}(x)u_{1}+N_{2}(x)u_{2}$

 

$\xi $라는 새로운 변수를 도입하여 치환해보겠습니다. 아래와 같이 -1~1 사이 값을 갖는 $\xi $ 를 이용하여 치환할겁니다. 

 

 

아래와 같이 치환할 수 있습니다. 비율이 같다는 원리를 사용하였습니다. 

 

$\frac{x-x_{1}}{x_{2}-x_{1}}=\frac{\xi+1}{2}$

$\frac{x_{2}-x}{x_{2}-x_{1}}=\frac{1-\xi}{2}$

 

shape function 을 아래와 같이 다시 정의합시다. 더 일반적으로 사용되는 형태입니다. 

 

$N_{1}(\xi)=\frac{\xi+1}{2}$

$N_{2}(\xi)=\frac{1-\xi}{2}$

 

변위함수는 아래와 같습니다. 

 

$u(\xi)=N_{1}(\xi)u_{1}+N_{2}(\xi)u_{2}$