[탄성학] 2. 응력, 응력변환, 주응력

힘을 받는 물체가 평형을 이루고 있다고 합시다. 이 물체의 단면을 자르면 단면에는 힘이 작용하고 있습니다. 단면에서 작은 요소 하나를 잡겠습니다. 넒이가 A인 요소입니다. 이 요소에도 힘이 작용하고 있습니다. 힘의 합력은 특정 방향으로 작용하고 있을텐데, 그 방향이 어떻든 간에 normal 방향과 shear 방향의 두 힘 성분으로 나타낼 수 있습니다. 만약 수직방향을 x축으로 하여 좌표계를 하나 잡는다고 하면, normal 방향 힘 하나와 shear 방향 힘 두개로 분해할 수 있습니다. (그림출처 Advanced Mechanics of Materials and Applied Elasticity)

 

그림1

 

이때 단면의 면적 A를 0으로 보내면 각 힘도 0이 됩니다. 그렇다면 A가 0으로 갈 때, $\frac{Force}{Area}$ 은 어떻게 될까요? 어떤 극한값으로 수렴합니다. 이 수렴값이 stress 입니다. 증명이 가능한지는 저도 모르겠습니다. 

 

$\sigma_{x}=\lim_{\Delta A\rightarrow 0 }\frac{\Delta F_{x}}{\Delta A}$

 

이 개념을 확장하면 아래와 같은 3차원 응력요소를 생각할 수 있습니다. (그림출처 Advanced Mechanics of Materials and Applied Elasticity)

 

그림2

 

아이러니하게도 이 요소는 점입니다. 점을 확대해 놓은 것이라 생각하면 되는데, 사실 말이 안되는 소리입니다. 점은 넓이도 부피도 없기 때문입니다. 그런데 극한값이므로 점에는 위와 같은 응력이 존재하는 것도 맞습니다(인간이 이해할 수 없는 개념같기도 합니다). $\sigma_{ij}$를 i를 법선으로 하는 평면에서 j방향으로의 응력이라고 놓으면 아래와 같은 행렬로 표현할 수 있습니다. 

 

$\sigma_{ij}=\begin{bmatrix} \sigma_{xx} & \sigma_{xy} & \sigma_{xz} \\  \sigma_{yx} & \sigma_{yy}  & \sigma_{yz} \\  \sigma_{zx} & \sigma_{zy} & \sigma_{zz} \end{bmatrix}$

 

이번에는 위치에 따른 응력의 변화를 고려해보겠습니다. 응력을 x,y에 대한 함수로 생각하면 점의 이동에 따른 응력의 변화를 아래 그림과 같이 표현할 수 있습니다. Fx와 Fy 는 bodyfore 입니다. 

 

그림3

 

그림 2은 요소의 극한값으로 ‘점’이 었다면, 그림3는 점이 아니라 변의 길이를 갖는 어떤 요소입니다. 우리는 힘의 평형 조건을 가정했으므로, 위 그림에서 두가지 평형방정식을 세울 수 있습니다. 모멘트 평형과 힘 평형입니다. 

 

그림 3에서 모멘트 평형을 이용하면 아래 식을 도출할 수 있습니다. 

 

$\tau_{xy}=\tau_{yx}$

 

그림 3에서 힘의 평형식을 이용하면 아래 식을 도출할 수 있습니다. 

 

$\frac{\partial \sigma_{x}}{\partial x}+\frac{\partial \tau_{yx}}{\partial y}+F_{x}=0$

$\frac{\partial \sigma_{y}}{\partial y}+\frac{\partial \tau_{xy}}{\partial x}+F_{y}=0$

 

요소를 다르게 잘라보면 응력은 어떻게 될까요. 정육면체가 아니라 아래 그림과 같이 사면체로 잘라보는 것입니다. 이 경우도 한 점에 작용하는 응력입니다. 

 

그림4

 

빗면의 normal 방향벡터를 $\vec{n}$이라고 놓겠습니다. 빗면에 작용하는 응력벡터를 $\vec{p}$ 라고 놓겠습니다. normal과 shear 가 아닌 응력의 합력입니다. 아래와 같이 normal 과 shear 성분으로 분해할 수 있습니다. 

 

$\vec{p}=\sigma \vec{n}+\tau \vec{s}$

 

또는 아래와 같이 좌표계를 이용하여 분해할 수도 있습니다. 

 

$\vec{p}=p_{x}\vec{i}+p_{y}\vec{j}+p_{z}\vec{k}$

 

이제 $p_{x}$,$p_{y}$,$p_{z}$를 기존 응력 요소들과 연관지어봅시다. 기존 응력요소(그림2)들을 알고 있다고 가정하고 $p_{x}$,$p_{y}$,$p_{z}$ 를 구하려는 것입니다. 이때도 힘의 평형방정식이 사용됩니다. 그 전에 아래와 같은 방향코사인을 정의하겠습니다. 

 

$\cos\alpha=l$

$\cos\beta=m$

$\cos\gamma=n$

 

단위벡터 $\vec{n}$의 x,y,z 성분을 각도로 나타낸 것입니다. 따라서 아래 벡터는 빗변의 normal 방향의 단위벡터입니다. 

 

$l\vec{i}+m\vec{j}+n\vec{k}$

 

힘의 평형방정식을 세우기 위해서 응력에 면적을 곱해줘야 합니다(면적이 있는 점이라니 이해가 잘 안됩니다). 평형방정식은 아래와 같습니다. 

 

$\sum F_{x}=p_{x}A-\sigma_{x}A_{QAB}-\tau_{yx}A_{QAC}-\tau_{zx}A_{QBC}=0$

$\sum F_{y}=p_{y}A-\tau_{xy}A_{QAB}-\sigma_{y}A_{QAC}-\tau_{zy}A_{QBC}=0$

$\sum F_{z}=p_{z}A-\tau_{zy}A_{QAB}-\tau_{yz}A_{QAC}-\sigma_{z}A_{QBC}=0$

 

평형방정식을 정리하면 아래와 같습니다. 

 

$\begin{align*} p_{x}&=\sigma_{x}l+\tau_{xy}m+\tau_{xz}n \\ p_{y}&=\tau_{xy}l+\sigma_{y}m+\tau_{yz}n \\ p_{z}&=\tau_{xz}l+\tau_{yz}m+\sigma_{z}n \end{align*}$

 

행렬형태 식으로 나타내면 아래와 같습니다. 

 

$\begin{bmatrix} p_{x}\\ p_{y}\\ p_{z} \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} \sigma_{x} & \tau_{xy} & \tau_{xz} \\ \tau_{yx} & \sigma_{y} & \tau_{yz} \\ \tau_{zx} & \tau_{zy}  & \sigma_{z} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} l\\ m\\ n \end{bmatrix}$

 

뭘 한건지 중간정리해봅시다. 사면체의 빗면에서의 응력을 구한 것입니다. 사면체 빗면의 단위방향벡터를 $\vec{n}$이라고 놓는다면 사면체 빗면의 응력 벡터의 성분은 아래와 같이 구합니다. 

 

$\begin{align*} p_{x}&=\sigma_{x}l+\tau_{xy}m+\tau_{xz}n \\ p_{y}&=\tau_{xy}l+\sigma_{y}m+\tau_{yz}n \\ p_{z}&=\tau_{xz}l+\tau_{yz}m+\sigma_{z}n \end{align*}$

 

이때 응력 벡터는 아래와 같습니다. 

 

$\vec{p}=p_{x}\vec{i}+p_{y}\vec{j}+p_{z}\vec{k}$

 

이 벡터를 n방향과 s(shear) 방향으로 분해해봅시다. 아래와 같이 분해할 것입니다. 

 

$\vec{p}=\sigma \vec{n}+\tau \vec{s}$

 

$\sigma$는 아래와 같이 구할 수 있습니다. 응력벡터를 n방향으로 투영한 크기입니다. 

 

$\sigma=\vec{p}\cdot \vec{n}$

 

n방향 응력벡터를 구했으니 아래 식을 통해 shear 방향 응력벡터도 구할 수 있습니다. 

 

$\tau \vec{s}=\vec{p}-\sigma \vec{n}$ 

이번에는 빗면에 특정 좌표계를 잡고 해당 좌표계에서 응력 성분을 분해해봅시다. x’,y’,z’ 라는 새로운 좌표계입니다. x’ 축이 빗면의 법선벡터 방향과 일치하는 좌표계입니다. 기존 좌표계 x,y,z 와 새로운 좌표계 x’,y’,z’ 사이의 방향코사인 관계는 아래와 같습니다. 

 

$\sigma_{x'}=p_{x}l_{1}+p_{y}m_{1}+p_{z}n_{1}$

$\tau_{x'y'}=p_{x}l_{2}+p_{y}m_{2}+p_{z}n_{2}$

$\tau_{x'z'}=p_{x}l_{3}+p_{y}m_{3}+p_{z}n_{3}$

위 식에 아래 식을 대입하면 x,y,z 응력 요소를 이용하여 x’,y’,z’ 응력요소를 구할 수 있습니다. 

 

$\begin{align*} p_{x}&=\sigma_{x}l_{1}+\tau_{xy}m_{1}+\tau_{xz}n_{1} \\ p_{y}&=\tau_{xy}l_{1}+\sigma_{y}m_{1}+\tau_{yz}n_{1} \\ p_{z}&=\tau_{xz}l_{1}+\tau_{yz}m_{1}+\sigma_{z}n_{1} \end{align*}$

 

대입 결과는 아래와 같습니다. 

 

$\sigma_{x'}=\sigma_{x}l_{1}^{2}+\sigma_{y}m_{1}^{2}+\sigma_{z}n_{1}^{2}+2(\tau_{xy}l_{1}m_{1}+\tau_{yz}m_{1}n_{1}+\tau_{xz}l_{1}n_{1})$

$\tau_{x'y'}=\sigma_{x}l_{1}l_{2}+\sigma_{y}m_{1}m_{2}+\sigma_{z}n_{1}n_{2}+\tau_{xy}(l_{1}m_{2}+m_{1}l_{2})+\tau_{yz}(m_{1}n_{2}+n_{1}m_{2})+\tau_{xz}(n_{1}l_{2}+l_{1}n_{2})$

 

$\tau_{x'z'}=\sigma_{x}l_{1}l_{3}+\sigma_{y}m_{1}m_{3}+\sigma_{z}n_{1}n_{3}+\tau_{xy}(l_{1}m_{3}+m_{1}l_{3})+\tau_{yz}(m_{1}n_{3}+n_{1}m_{3})+\tau_{xz}(n_{1}l_{3}+l_{1}n_{3})$

이 빗면을 중심으로 새로운 정육면체 요소를 만들어 볼 수 있습니다. 이번에는 n 방향을 y’ 로 잡으면 아래 응력들이 유도됩니다. 

 

$\sigma_{y'}=p_{x}l_{2}+p_{y}m_{2}+p_{z}n_{2}$

$\tau_{y'x'}=p_{x}l_{1}+p_{y}m_{1}+p_{z}n_{1}$

$\tau_{y'z'}=p_{x}l_{3}+p_{y}m_{3}+p_{z}n_{3}$

이때 p 벡터가 x’를 n방향으로 잡을 때와 달라집니다. y’ 을 법선으로 하는 빗변에서 새로 구해야합니다. 아래와 같습니다. 

 

$\begin{align*} p_{x}&=\sigma_{x}l_{2}+\tau_{xy}m_{2}+\tau_{xz}n_{2} \\ p_{y}&=\tau_{xy}l_{2}+\sigma_{y}m_{2}+\tau_{yz}n_{2} \\ p_{z}&=\tau_{xz}l_{2}+\tau_{yz}m_{2}+\sigma_{z}n_{2} \end{align*}$

 

비슷한 방법으로 $\sigma_{z}$ 와 $\sigma_{zx}$도 구할 수 있습니다. 

 

방금 우리는 x,y,z 라는 좌표계에서 알고 있는 응력을 x’,y’,z’ 좌표계로 transformation(변환) 한 것입니다. 물체 내의 한 점에서의 응력요소는 좌표계에 따라 값이 달라진다는 것을 알 수 있습니다. 

 

좌표계를 적당히 잘 바꾸면 normal stress 가 최대가 되는 좌표계를 찾을 수 있을 것입니다. 아래 식을 봅시다. 

 

$\sigma_{x'}=p_{x}l_{1}+p_{y}m_{1}+p_{z}n_{1}$

 

응력이 최대가 되는 조건을 생각해봅시다. 우리가 통제할 수 있는 변수는 $l_{1}$,$m_{1}$, $n_{1}$ 입니다. 셋의 제곱합이 1이므로, 셋중 둘만 독립변수입니다.  $l_{1}$,$m_{1}$ 으로 위 식을 편미분하여 0이 될 때 극값이 발생합니다. 

 

$\frac{\partial \sigma_{x'}}{\partial l_{1}}=p_{x}+p_{z}\frac{\partial n_{1}}{\partial l_{1}}=0$   (1)

 

$\frac{\partial \sigma_{x'}}{\partial m_{1}}=p_{y}+p_{z}\frac{\partial n_{1}}{\partial m_{1}}=0$   (2)

 

또한 아래 식이 성립합니다. 

 

$n_{1}^2=1-l_{1}^2+m_{1}^2$   (3)

 

3번 식을 $l_{1}$으로 미분합니다. 

 

$\frac{\partial n_{1}}{\partial l_{1}}\cdot (2n_{1})=-2l_{1}$

 

아래와 같이 변형합니다. 

 

$\frac{\partial n_{1}}{\partial l_{1}}=-\frac{l_{1}}{n_{1}}$    (4)

 

3번 식을 $m_{1}$으로 미분합니다. 

 

$\frac{\partial n_{1}}{\partial m_{1}}\cdot (2n_{1})=-2m_{1}$

 

아래와 같이 변형합니다. 

 

$\frac{\partial n_{1}}{\partial l_{1}}=-\frac{m_{1}}{n_{1}}$    (5)

 

(4)를 (1)번 식에 대입합니다. 

 

$p_{x}+p_{z}\left ( -\frac{l_{1}}{n_{1}} \right ) = 0$

 

아래와 같이 변형합니다. 

 

$\frac{p_{x}}{l_{1}}=\frac{p_{z}}{n_{1}}$

 

(5)를 (2)식에 대입합니다. 

 

$p_{y}+p_{z}\left ( -\frac{m_{1}}{n_{1}} \right ) = 0$

 

아래와 같이 변형합니다. 

 

$\frac{p_{y}}{m_{1}}=\frac{p_{z}}{n_{1}}$

 

따라서 아래 식이 유도됩니다. 

 

$\frac{p_{x}}{l_{1}}=\frac{p_{y}}{m_{1}}=\frac{p_{z}}{n_{1}}$

 

위 식이 만족한다는 것은 응력벡터 p의 방향과 절단면의 법선벡터 n의 방향이 같다는 의미입니다. 이해를 돕기 위해 아래와 같이 변형합시다. 

 

$\frac{p_{x}}{l_{1}}=\frac{p_{y}}{m_{1}}=\frac{p_{z}}{n_{1}}=k$

 

아래와 같이 변형할 수 있습니다. 

 

$p_{x}=k l_{1}$

$p_{y}=k m_{1}$

$p_{z}=k n_{1}$

 

아래와 같이 벡터 형태로 변형할 수 있습니다. 

 

$\left ( p_{x},p_{y},p_{z} \right )=k\left ( l_{1},m_{1},n_{1} \right )$

 

한 벡터가 다른 벡터의 상수배이므로 두 벡터는 평행합니다. 

 

정리해봅시다. 우리는 응력이 최대가 되는 절단면을 찾고 있습니다. 응력이 최대가 되는 절단면은 단면의 법선 방향과 응력벡터 p의 방향이 같은 절단면입니다. 따라서 이때의 응력은 전단응력은 없고 수직응력만 있습니다. 이 응력을 주응력(principal stress)라고 부릅니다. 이 응력을 $\sigma_{p}$라고 놓겠습니다. 이때 아래 등식이 성립합니다. 

 

$p_{x}=\sigma_{p}l_{1}$

$p_{y}=\sigma_{p}m_{1}$

$p_{z}=\sigma_{p}n_{1}$

 

기존 좌표계의 응력과의 관계식은 아래와 같았습니다. 

 

$\begin{align*} p_{x}&=\sigma_{x}l_{1}+\tau_{xy}m_{1}+\tau_{xz}n_{1} \\ p_{y}&=\tau_{xy}l_{1}+\sigma_{y}m_{1}+\tau_{yz}n_{1} \\ p_{z}&=\tau_{xz}l_{1}+\tau_{yz}m_{1}+\sigma_{z}n_{1}  \end{align*}$

 

따라서 아래 식을 얻을 수 있습니다. 

 

$\begin{align*} \sigma_{x}l_{1}+\tau_{xy}m_{1}+\tau_{xz}n_{1}&=\sigma_{p}l_{1} \\ \tau_{xy}l_{1}+\sigma_{y}m_{1}+\tau_{yz}n_{1}&=\sigma_{p}m_{1} \\ \tau_{xz}l_{1}+\tau_{yz}m_{1}+\sigma_{z}n_{1}&=\sigma_{p}n_{1} \end{align*}$

 

이항하여 정리하면 아래와 같습니다. 

 

$\begin{align*} \left ( \sigma_{x}-\sigma_{p} \right )l_{1}+\tau_{xy}m_{1}+\tau_{xz}n_{1}&=0 \\ \tau_{xy}l_{1}+\left ( \sigma_{y}-\sigma_{p} \right )m_{1}+\tau_{yz}n_{1}&=0 \\ \tau_{xz}l_{1}+\tau_{yz}m_{1}+\left ( \sigma_{z}-\sigma_{p} \right )n_{1}&=0 \end{align*}$

 

행렬의 곱셈 형태로 표현하면 아래와 같습니다. 

 

$\begin{bmatrix} \sigma_{x}-\sigma_{p} & \tau_{xy}  & \tau_{xz} \\  \tau_{xy} & \sigma_{y}-\sigma_{p} & \tau_{yz} \\  \tau_{xz} & \tau_{yz} & \sigma_{z}-\sigma_{p} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} l_{1}\\  m_{1}\\  n_{1} \end{bmatrix}$

 

0이 아닌 해가 존재하려면 행렬식이 0이어야 합니다. 

 

$\begin{vmatrix} \sigma_{x}-\sigma_{p} & \tau_{xy}  & \tau_{xz} \\  \tau_{xy} & \sigma_{y}-\sigma_{p} & \tau_{yz} \\  \tau_{xz} & \tau_{yz} & \sigma_{z}-\sigma_{p} \end{vmatrix} =0$

 

계산하면 아래와 같습니다. 

 

$\sigma_{p}^3+I_{1}\sigma_{p}^2+I_{2}\sigma_{p}^2-I_{3}=0$

 

$I_{1}=\sigma_{x}+\sigma_{y}+\sigma_{z}$

$I_{2}=\sigma_{x}\sigma_{y}+\sigma_{x}\sigma_{z}+\sigma_{y}\sigma_{z}-\tau_{xy}^2-\tau_{yz}^2-\tau_{xz}^2$

$I_{3}=\begin{vmatrix} \sigma_{x} & \tau_{xy} & \tau_{xz} \\  \tau_{xy} & \sigma_{y} & \tau_{yz}\\  \tau_{xz} & \tau_{yz}  & \sigma_{z} \end{vmatrix}$

 

I는 불변량입니다. 어떤 좌표계에서 구해도 같은 값을 얻습니다. 그래야 principal stress가 항상 같겠죠. 

 

위 3차 방정식을 풀면 $\sigma_{p}$가 세개 나옵니다. 주응력 각각 마다 (l,m,n)이 나옵니다. 주응력과 그 방향을 구한 것입니다.