[유한요소법] 보간함수 (shape function) (2) 노드 4개

4개의 노드로 되어있는 요소의 좌측 하단 노드를 $(x_{1},y_{1})$, 우측 하단 노드를 $(x_{2},y_{2})$, 우측 상단 노드를 $(x_{3},y_{3})$, 좌측 상단 노드를 $(x_{4},y_{4})$ 라고 놓겠습니다. 각 노드의 변위는 $(u_{i},v_{i})$ 입니다. 

점이 4개이므로 평면으로는 보간할 수가 없습니다. 점 네개를 지나는 평면 비슷한걸 정의합시다. 이 평면을 보간함수로 사용할 것입니다. 함수값은 노드의 변위를 나타냅니다. 

$u(x,y)=a+bx+cy+dxy$

우리가 알고 있는 값과 변위를 대입하면 아래와 같이 네개의 방정식을 얻습니다. 

$a+bx_{1}+cy_{1}+dx_{1}y_{1}=u_{1}$
$a+bx_{2}+cy_{2}+dx_{2}y_{2}=u_{2}$
$a+bx_{3}+cy_{3}+dx_{3}y_{3}=u_{3}$
$a+bx_{4}+cy_{4}+dx_{4}y_{4}=u_{4}$

행렬의 곱셈 형태로 정리하면 아래와 같습니다. 

$\begin{bmatrix} 1 & x_{1} & y_{1} & x_{1}y_{1}\\  1 & x_{2} & y_{2} & x_{2}y_{2}\\  1 & x_{3} & y_{3} & x_{3}y_{3}\\  1 & x_{4} & y_{4} & x_{4}y_{4} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a\\  b\\  c\\  d \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} u_{1}\\  u_{2}\\  u_{3}\\  u_{4} \end{bmatrix}$

이 식을 풀고 잘 정리하면 보간함수가 유도될거 같긴 한데 시간이 없어 나중에 해보려고 합니다. 다른 방식으로 접근하겠습니다. 

결과적으로 구해진 변위함수를 아래와 같다고 합시다. 

$u(\xi,\eta)=N_{1}u_{1}+N_{2}u_{2}+N_{3}u_{3}+N_{4}u_{4}$
$v(\xi,\eta)=N_{1}v_{1}+N_{2}v_{2}+N_{3}v_{3}+N_{4}v_{4}$

이때 shape function은 아래와 같이 유도됩니다. 

$N_{1}=\frac{1}{4}(1-\xi)(1-\eta)$
$N_{2}=\frac{1}{4}(1+\xi)(1-\eta)$
$N_{3}=\frac{1}{4}(1+\xi)(1+\eta)$
$N_{4}=\frac{1}{4}(1-\xi)(1+\eta)$

 

$\xi$와 $\eta$는 좌표를 아래와 같이 변환한 것입니다.