반응형 재료역학26 [재료역학] 변형에너지와 변형률 에너지 밀도 변형에너지 축하중을 받는 부재를 이용해서 변형 에너지와 변형률 에너지 밀도를 이해해봅시다. 아래와 같이 축하중을 받는 부재가 있습니다. 변형에너지를 먼저 정의해봅시다. 어떤 물체에 힘이 가해지고, 물체가 움직이면 힘은 '일'을 하게 됩니다. 힘이 물체에 가해지고 변형일 일어날 때도 힘은 일을 합니다. 물체에 가해진 일은 '에너지'형태로 저장됩니다. 물체에 힘이 가해져서 변형이 발생할 때 저장되는 에너지가 변형에너지입니다. 위 예시에서 변형에너지는 아래와 같이 정의됩니다. $U=\int_{0}^{x}P(x)dx$ 아래 면적의 넓이입니다. 힘이 변위에 비례하는 탄성체를 가정합시다. P=kx 가 성립하고 위 식은 아래와 같이 변형됩니다. $U=\int_{0}^{x}kxdx$ 적분을 계산하면 아래와 같습니다... 2024. 3. 28. 도심(centroid) 구하는 공식 유도하기 어떤 물체의 x축과 평행한 중심선이 $\bar{y}$라고 합시다. 이때 이 중심선을 기준으로 모멘트 평형이 이루어져야 합니다. 따라서 아래 적분값이 0이어야 합니다 . $\int (y-\bar{y})dA=0$ 아래와 같이 변형합시다. $\int ydA-\int\bar{y}dA=0$ $\bar{y}$는 상수이므로 아래와 같이 변형할 수 있습니다. $\int ydA-\bar{y}\int dA=0$ $\int dA$ 는 A입니다. 위 식은 아래와 같이 변형됩니다. $\int ydA-\bar{y}A=0$ 따라서 도심의 위치는 아래와 같습니다. $\bar{y}=\frac{\int ydA}{A}$ 2023. 10. 12. 모멘트(돌림힘)수식 M=Iα 는 어떻게 발견된걸까 물체에 힘을 가하면 가속도가 발생합니다. 힘과 가속도 사이의 비례상수가 질량 m입니다. 이번에는 물체에 회전하는 힘을 가하는 상황을 가정해봅시다. 아래와 같은 그림입니다. 물체는 변형이 없는 강체라고 가정합시다. 물체가 여러개의 입자로 구성되어 있다고 가정하고, i번째 입자에 가해지는 모멘트를 표현해봅시다. i번째 입자에 가해지는 힘을 $f_{i}$, 회전 중심으로 부터 i번째 입자까지의 거리를 $r_{i}$라고 놓겠습니다. 물체의 가속도를 a라고 놓으면, i번째 입자의 가속도도 a입니다. 따라서 i번째 입자에 가해지는 모멘트는 아래와 같습니다. $M_{i}=r_{i} f_{i}$ $f_{i}=m_{i}a$이므로 위 식은 아래와 같이 변형됩니다. $M_{i}=r_{i} m_{i}a $ $a=r_{i}\a.. 2023. 10. 12. 관성모멘트 유도하기 (관성모멘트 등장배경) 관성모멘트는 회전하는 강체의 운동에너지를 구할 때 등장합니다. 어떤 축을 중심으로 회전하는 강체가 있다고 합시다. 강체의 각속도를 $\omega$라고 놓겠습니다. 강체가 여러개의 입자로 구성되어 있다고 가정하고, i번째 입자의 운동에너지를 구해보겠습니다. i번째 입자의 속도를 먼저 구해봅시다. 회전축으로 부터 i번째 입자까지의 거리를 $r_{i}$라고 놓겠습니다. 이때 i번째 입자의 속도는 아래와 같습니다. $v_{i}=r_{i}\omega$ 강체의 운동에너지는 모든 입자의 운동에너지의 합과 같습니다. 강체의 운동에너지를 $E_{K}$라고 놓으면 아래와 같이 계산됩니다. $E_{K}=\sum_{i=1}^{N}\frac{1}{2}m_{i}v_{i}^2$ 위에서 유도한 입자의 속도와 각속도의 관계식을 대입하.. 2023. 10. 12. v=rω , a=rα 유도하기 (각속도 선속도, 각가속도 선가속도) 아래 그림과 같이 원점 O에서 출발하여 곡선을 따라 움직이는 물체가 있다고 합시다. 곡선을 따라 이동한 거리를 s라고 놓으면 아래와 같은 수식을 세울 수 있습니다. $s(t)=r \theta(t)$ 양변을 미분하면 각속도와 선속도 사이의 관계식이 유도됩니다. $v(t)=r \omega $ 한번 더 미분하면 각 가속도와 선 가속도 사이의 관계식이 유도됩니다. $a(t)=r \alpha$ 2023. 10. 12. [재료역학] 평면 변형률 (1) 무엇인가? 힘을 받는 3차원 물체는 6가지의 변형률을 가집니다. 세개의 축방향 변형률인 $\varepsilon_{x}$, $\varepsilon_{y}$, $\varepsilon_{y}$와 세개의 전단 변형률인 $\gamma_{xy},\gamma_{xz},\gamma_{yz}$ 입니다. 평면 변형률 상태는 아래와 같은 세개의 변형률만 작용하는 상태를 말합니다. $\varepsilon_{x},\varepsilon_{y},\gamma_{xy}$ 다른 방향으로는 변형이 없거나, 무시할 수 있는 상태입니다. 어떤 물체가 단단한 두 물체 사이에 있어서, z방향으로 변형이 없는 장면을 상상해 보시면 됩니다. 평면 변형률에서 유도된 수식들은 스트레인 게이지 데이터 변환에 사용됩니다. 한가지 헷갈릴 수 있는 내용이 있습니다. 어.. 2022. 7. 1. [재료역학] 전단변형률의 정의 전단변형률은 전단응력에 의한 변형이 발생한 상황에서 정의됩니다. 물체가 전단응력을 받으면 아래와 같이 변형됩니다. 모서리 각도도 표시해보면 아래와 같습니다. 만약 재료가 잘 변형되는 재료라면 같은 전단력에 대해 $\gamma$가 클 것입니다. 이 $\gamma$ 가 전단변형률입니다. 단위는 라디안으로 무차원입니다. 3차원 물체라면 xy평면, xz평면, yz 평면에서 전단변형이 일어날 수 있고 각각의 전단변형률을 아래와 같이 정의합니다. $\gamma_{xy}$, $\gamma_{xz}$ ,$\gamma_{yz}$ 2022. 7. 1. [재료역학] 전단응력-전단변형률 관계식 힘을 받는 3차원 물체의 전단변형은 xy 평면, xz 평면, yz 평면에서 일어나는 세가지 변형이 있습니다. 각 평면에서의 변형은 서로 영향을 주지 않습니다. 영향을 주지 않는 다는 것을 직관적으로 이해해봅시다. 정육면체 하나를 떠올립시다. 이 물체가 xy평면에서 전단변형이 일어났다고 합시다. 아래와 같이 변형됩니다. 이때 다른 평면에서는 변형이 일어나지 않습니다. 정사각형이 그대로 유지됩니다. 따라서 전단응력과 전단변형률의 관계는 각각 평면에서 독립적으로 형성됩니다. $\gamma _{xy}=\frac{1}{G}\tau_{xy}$ $\gamma _{xz}=\frac{1}{G}\tau_{xz}$ $\gamma _{yz}=\frac{1}{G}\tau_{yz}$ G와 E의 관계는 아래와 같습니다. $G=\f.. 2022. 6. 28. [재료역학] 응력-변형률 관계식 (일반화 훅의 법칙) 힘을 받는 물체 내부의 한 점에서 x,y,z 모든 방향의 응력이 작용한다고 합시다. 이 때 각 방향의 변형률은 모든 응력의 영향을 받습니다. 예를들어 x방향 변형률은 x방향 응력에 의해 늘어나지만, y와 z방향 응력에 의해서는 줄어듭니다. 중첩의 법칙을 적용하면 x방향 변형률은 아래와 같이 계산됩니다. $\varepsilon _{x}=\frac{\sigma_{x}}{E}-\nu \frac{\sigma_{y}}{E}-\nu \frac{\sigma_{z}}{E}$ y방향과 z방향 변형률도 같은 방법으로 계산됩니다. $\varepsilon _{y}=\frac{\sigma_{y}}{E}-\nu \frac{\sigma_{x}}{E}-\nu \frac{\sigma_{z}}{E}$ $\varepsilon _{z}=\.. 2022. 6. 27. [재료역학] 푸아송비 의미 아래와 같이 인장응력을 받는 2차원 물체가 있다고 합시다. 변형 후 상태를 아래와 같이 점선으로 나타내겠습니다. 변형은 두종류가 있습니다. 길이방향(longitudinal) 변형인 $\delta$ 와 측면방향(lateral) 변형인 $\delta'$ 입니다. $\delta'$는 음수입니다. 각 변형에 대해 변형률을 정의하면 아래와 같습니다. $\varepsilon _{long}=\frac{\delta}{L}$ $\varepsilon _{lat}=\frac{\delta'}{D}$ 푸아송비는 아래와 같이 정의됩니다. $\nu =-\frac{\varepsilon _{lat}}{\epsilon _{long}}$ 2022. 6. 20. [재료역학] 직사각형의 단면 2차 모멘트 구하는 방법 아래 직사각형의 단면2차 모멘트를 구해봅시다. 단면 2차 모멘트는 아래와 같이 정의됩니다. x축에 대한 단면 2차 모멘트입니다. $I_{x}=\int_{A}^{}y^{2}dA$ 아래와 같이 변형합니다. $I_{x}=\int_{-\frac{a}{2}}^{\frac{a}{2}}\int_{-\frac{b}{2}}^{\frac{b}{2}}y^{2}dydx$ 아래와 같이 분리합니다. $I_{x}=\left ( \int_{-\frac{b}{2}}^{\frac{b}{2}}y^{2}dy \right )\left ( \int_{-\frac{a}{2}}^{\frac{a}{2}}1dx \right )$ 적분을 계산합니다. $I_{x}=\left [ \frac{y^{3}}{3} \right ]^{\frac{b}{2}}_{-\.. 2022. 6. 20. [재료역학] 평면응력 (7) 모어원 그려보기 우리는 아래 응력상태에서 응력 변환공식을 유도했고, 응력변환공식을 이용해서 모어원을 유도했습니다. 지난시간에 유도한 모어원 수식은 아래와 같습니다. $\left ( \sigma_{x'}-\frac{\sigma_{x}+\sigma_{y}}{2} \right )^{2}+\left ( \tau_{x'y'} \right )^{2}=\left (\frac{\sigma_{x}-\sigma_{y}}{2}\right )^{2}+\left ( \tau_{xy} \right )^{2}$ 원을 그려볼 것인데요. 먼저 축을 알아야 합니다. 일반적으로 x축과 y축을 사용합니다. 변수 x와 y가 사용되었기 때문입니다. 위 식에서 변수는 $ \sigma_{x'}$ 와 $\tau_{x'y'}$ 입니다. 따라서 축은 아래와 같이 그려.. 2022. 6. 15. [재료역학] 평면응력 (6) 모어원 유도 모어원의 유도는 평면응력의 변형방정식에서 출발합니다. 아래와 같습니다. $\sigma_{x'}=\frac{\sigma_{x}+\sigma_{y}}{2}+\frac{\sigma_{x}-\sigma_{y}}{2}\cos 2\theta+\tau_{xy}\sin 2\theta$ (1) $\tau_{x'y'}=-\frac{\sigma_{x}-\sigma_{y}}{2}\sin 2\theta+\tau_{xy} \cos 2\theta$ (2) 1번 식을 아래와 같이 이항합니다. $\sigma_{x'}-\frac{\sigma_{x}+\sigma_{y}}{2}=\frac{\sigma_{x}-\sigma_{y}}{2}\cos 2\theta+\tau_{xy}\sin 2\theta$ 위 식의 양변을 제곱해줍니다. 2번식도 양변.. 2022. 6. 15. [재료역학] 평면응력 (5) 최대전단응력 예제 1 예제 힘을 받는 어떤 물체 내부의 한 지점에서 응력상태는 아래와 같습니다. 최대전단응력상태를 나타내세요. 풀이 최대전단응력과 회전각을 계산하는 수식은 아래와 같습니다. $\tan 2\theta=-\frac{ \frac{(\sigma_{x}-\sigma_{y})}{2} }{\tau_{xy}}$ $\tau_{max}=-\sqrt{\left ( \frac{\sigma_{x}-\sigma_{y}}{2} \right )^{2}+\tau_{xy}^{2}}$ (at $\theta_{1}$) $\tau_{max}=\sqrt{\left ( \frac{\sigma_{x}-\sigma_{y}}{2} \right )^{2}+\tau_{xy}^{2}}$ (at $\theta_{2}$) 1) 회전각 계산 $\tan 2\theta.. 2022. 6. 15. [재료역학] 평면응력 (4) 주응력 예제 1 예제 힘을 받는 어떤 물체 내부의 한 지점에서 응력상태는 아래와 같습니다. 주응력상태를 나타내세요. 풀이 주응력과 회전각을 계산하는 수식은 아래와 같습니다. $\tan 2\theta=\frac{\tau_{xy}}{\frac{(\sigma_{x}-\sigma_{y})}{2}}$ $\sigma_{1,2}=\frac{\sigma_{x}+\sigma_{y}}{2} \pm \sqrt{\left ( \frac{\sigma_{x}-\sigma_{y}}{2} \right )^{2}+\tau_{xy}^{2}}$ 1) 회전각 계산 회전각을 계산해줍니다. $\tan 2\theta=\frac{3}{4}$ 엑셀에 DEGREES(ATAN(3/4)*0.5) 수식을 입력하면 $\theta$를 구할 수 있습니다. $\theta=18... 2022. 6. 14. [재료역학] 평면응력 (3) 최대전단응력공식 유도 지난 글에서 유도한 응력의 변환방정식은 아래와 같습니다. $\sigma_{x'}=\frac{\sigma_{x}+\sigma_{y}}{2}+\frac{\sigma_{x}-\sigma_{y}}{2}\cos 2\theta+\tau_{xy}\sin 2\theta$ $\tau_{x'y'}=-\frac{\sigma_{x}-\sigma_{y}}{2}\sin 2\theta+\tau_{xy} \cos 2\theta$ 최대전단응력공식을 유도할때는 두번째 식이 사용됩니다. 변수는 $\theta$ 입니다. $\theta$로 미분한 함수가 0이 되는 $\theta$ 에서 극값이 발생합니다. 두번째 식을 $\theta$ 로 미분하면 아래와 같습니다. $\frac{d\sigma_{x'}}{d \theta}=-(\sigma_{x}-.. 2022. 6. 10. [재료역학] 평면응력 (2) 주응력공식 유도 지난 글에서 유도한 응력의 변환방정식은 아래와 같습니다. $\sigma_{x'}=\frac{\sigma_{x}+\sigma_{y}}{2}+\frac{\sigma_{x}-\sigma_{y}}{2}\cos 2\theta+\tau_{xy}\sin 2\theta$ $\tau_{x'y'}=-\frac{\sigma_{x}-\sigma_{y}}{2}\sin 2\theta+\tau_{xy} \cos 2\theta$ 변수는 $\theta$ 입니다. $\theta$로 미분한 함수가 0이 되는 $\theta$ 에서 극값이 발생합니다. 첫번째 식을 $\theta$ 로 미분하면 아래와 같습니다. $\frac{d\sigma_{x'}}{d \theta}=-(\sigma_{x}-\sigma_{y})\sin 2\theta+2\tau_.. 2022. 6. 9. [재료역학] 평면응력 (1) 응력의 변환방정식 유도 평면응력상태는 아래와 같습니다. 2차원에서의 응력입니다. x,y 방향이 아닌 임의 방향에서 응력상태를 유도하고 싶은 상황입니다. 아래와 같은 삼각형 응력요소에서 유도하겠습니다. 위 요소를 잘랐다고 표현할 수도 있고, 처음부터 삼각요소를 잡았다고 생각할 수도 있습니다. 응력은 면이 있는 작은 요소에서 구한 극한값입니다. 면적을 곱해서 힘으로 표현해줍시다. 힘의 평형방정식을 적용할 것입니다. x' 방향과 y' 방향으로 적용할 것인데요. 각 힘들을 x',y' 방향으로 분해하면 아래와 같습니다. 아래는 x' 방향 평형방정식입니다. $\sigma_{x'}\Delta A - \sigma_{x} \Delta A \cos^{2} \theta - \tau_{xy}\Delta \sin \theta \cos\theta -\.. 2022. 6. 7. [재료역학] 관성모멘트, 2차 단면모멘트, 극관성모멘트, 질량관성모멘트, 면적관성모멘트 구분하기 관성모멘트(moment of inertia)는 크게 둘로 나뉩니다. 1. 질량 관성모멘트 (mass moment of inertia) 2. 면적 관성모멘트 (area moment of inertia) 면적관성모멘트는 2차 단면 모멘트라고도 부릅니다. 1. 질량 관성모멘트 (mass moment of inertia) 2. 면적 관성모멘트 (area moment of inertia) = 단면 2차 모멘트 (second moment of area) 2차원을 가정합시다. 각 관성모멘트는 x축, y축, 원점에 대해 정의할 수 있습니다. 원점에 대해 정의된 관성모멘트를 극관성모멘트(polar coordinate of inertia)라고 부릅니다. 따라서 세가지로 정의됩니다. 면적관성 모멘트로 설명하겠습니다. x축에.. 2022. 6. 7. [손으로 푸는 재료역학] 2. 응력이란 무엇인가 (2) 3차원 지난 글에서 2차원 응력을 배웠습니다. 2차원에 있는 물체 내부의 한 점에서의 응력은 아래와 같습니다. 한 점에 네가지 응력이 작용했습니다. 오늘은 차원을 하나 높여서 3차원 물체에서의 응력을 알아봅시다. 3차원에 놓인 물체에 하중이 가해지고 있다고 합시다. 물체 내부의 작은 육면체 모양의 영역을 하나 잡아봅시다. 육면체의 각 면에는 힘이 작용하고 있을 것입니다. 더 정확히는 각 면 위의 위치마다 힘이 다르게 작용하고 있을 것이지만, 각 면에 작용하는 평균힘을 생각합시다. 먼저 윗변에 작용하는 힘을 알아봅시다. 힘은 기울어진 임의 방향으로 작용하고 있을 것입니다. 지난 글에서 다룬 내용과 비슷하므로 힘 분해를 바로 하겠습니다. 윗면에 작용하는 힘은 아래와 같이 세 방향으로 분해됩니다. 나머지 면에도 힘이.. 2022. 5. 19. [손으로 푸는 재료역학] 2. 응력이란 무엇인가 (1) 2차원 먼저 과거 선배들이 응력을 생각해내게 된 동기(motivation)를 생각해봅시다. 어떤 물체에 힘을 가할 때, 힘을 계속 증가시키다 보면 물체가 변형되다가 파손됩니다. 파손되는 위치는 아마 가장 취약한 부분일텐데요. 이 취약한 위치를 찾아내려면 물체 내부의 각 위치가 받는 힘을 정의해야 했을 것입니다. 물체 내부의 각 위치는 물체를 연속체로 생각했을 때, 물체 내부의 한 점 (x,y,z) 을 의미합니다. 물체 내부의 각 위치에 가해지는 힘을 찾는 과정에서 응력이 발견되었을 것이라 생각합니다. 응력에 익숙해질 수는 있지만 직관적으로 이해하기는 어렵다는 것을 알고 시작합시다. 점에 가해지는 힘이라는 것을 받아들이기 어렵고, 한 점에 가해지는 힘이 9개나 된다는 것은 더 이해하기 어렵습니다. 먼저 2차원에서.. 2022. 5. 18. [재료역학] 비틀림에서 전단응력과 전단변형률 구하는 수식 - 비틀림에서 전단응력과 전단변형률 구하는 수식 - 인장은 참고용 - 동그라미친 수식을 주로 사용 2022. 4. 29. [재료역학] 재료역학의 네임드들 고체역학 또는 재료역학에 붙어있는 '역학'이라는 단어를 봅시다. 역학은 '힘'과 '운동'을 다루는 학문으로 물리학의 한 갈래입니다. 재료역학에서 다루는 물체와 가해지는 하중은 아래와 같습니다. 막대기(축하중) 축(비틀림) 보(굽힘) 기둥(압축) 재료역학이 어떻게 시작되었는지 정확하게 알 수는 없지만, 보통 갈릴레오 갈릴레이의 실험을 그 시작이라고 이야기합니다. 역학 자체만 놓고 보면 더 오래전으로 내려갈 수 있습니다. 아르키메데스의 부력을 유체역학으로 본다면 말입니다. 갈릴레이는 다양한 재료로 만들어진 봉(rod)와 보(beam)에 하중을 가하는 실험을 했습니다. 그로부터 많은 시간이 흐른 뒤 네비어, 생베낭, 푸아송 등을 통해 재료역학에 관한 실험과 이론이 발전했습니다. 네임드들의 출생년도를 한번 살펴.. 2019. 12. 10. [재료역학] 주요 교과서들 목차 (Crandall, Gere, Beer, Hibbeler) Crandall 책의 목차는 아래와 같습니다. 아래 목차 순서대로 요약설명을 진행할 계획입니다. 1. 역학의 근본원리 2. 변형체역학의 소개 3. 가늘고 긴 부재에 전달되는 힘과 모멘트 4. 응력과 변형률 5. 응력-변형률-온도의 관계 6. 비틀림 7. 굽힘에 의한 응력 8. 굽힘에 의한 처짐 9. 평형상태의 안정성 : 좌굴 Gere 책의 목차입니다. 1장. 인장, 압축, 전단 2장. 축하중을 받는 부재 3장. 비틀림 4장. 전단력과 굽힘모멘트 5장. 보의 응력(기초) 6장. 보의 응력(심화) 7장. 응력과 변형률의 해석 8장. 평면응력의 응용(압력용기, 보 및 조합하중) 9장. 보의 처짐 10장. 부정정 보 11장. 기둥 12장. 도심과 관성모멘트 복습 Beer 책의 목차입니다. 1. 서론 - 응력의 .. 2019. 12. 9. [재료역학] 재료역학, 동역학, 정역학 차이 재료역학의 목적은 아래와 같습니다. 구조물이 받는 힘과 그 변형을 수학적으로 정의하고 계산하여 구조물의 안전한 설계를 돕는 것이 재료역학의 목적입니다. 구조물이 힘을 받을 때, 구조물의 '반응'을 네가지로 나눌 수 있습니다. 1. 구조물이 움직이지 않고, 변형은 무시할 정도로 작음 (움직임 X, 변형 X) 2. 구조물이 움직이지 않고, 변형이 일어남 (움직임 X, 변형 O) 3. 구조물이 움직이고, 변형은 무시할 정도로 작음 (움직임 O, 변형 X) 4. 구조물이 움직이고, 변형이 일어남 (움직임 O, 변형 O) 1번이 정역학, 2번이 재료역학, 3번이 동역학, 4번이 유연체 동역학 이라는 학문에 속합니다. 우리가 다루는 재료역학은 움직이지 않고 변형만 일어나는 구조물을 다룹니다. 움직임이 없기 때문에,.. 2019. 7. 28. [재료역학] 재료역학은 무엇을 배우는 학문인가 "물체는 힘을 받으면 변형된다." 당연한 말이지만, 물체가 어떤힘을 어떻게 받는지 정확하게 알아야 하는 상황이 있습니다. 구조물을 설계하거나 제품을 설계할 경우가 그렇습니다. 간단한 예로 선반을 설계하는 상황을 생각해봅시다. 선반은 여섯개의 지지나사위에 올려져 있습니다. 선반이 얼마의 무게를 지탱할 수 있을지, 또 얼마나 지탱할 수 있을지를 사전에 알아야합니다. 어떻게 알 수 있을까요? 가장 쉬운 방법은 직접 무게를 올려가면서 실험해보면 됩니다. 너무 낮은 무게에서 부서지면 나사를 더 강하게 만들면 됩니다. 그런데 우리에게는 시간의 문제와 돈의 문제가 있습니다. 우리가 맞닥드릴 상황은 주로 이런 상황입니다. "올해 만들 선반의 목표입니다. 나사 재료비와 가공비를 최소로 하고, 무게는 20kg을 견딜 수 .. 2018. 10. 11. 이전 1 다음 반응형
