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탄성학11

[탄성학] 2. 응력, 응력변환, 주응력 힘을 받는 물체가 평형을 이루고 있다고 합시다. 이 물체의 단면을 자르면 단면에는 힘이 작용하고 있습니다. 단면에서 작은 요소 하나를 잡겠습니다. 넒이가 A인 요소입니다. 이 요소에도 힘이 작용하고 있습니다. 힘의 합력은 특정 방향으로 작용하고 있을텐데, 그 방향이 어떻든 간에 normal 방향과 shear 방향의 두 힘 성분으로 나타낼 수 있습니다. 만약 수직방향을 x축으로 하여 좌표계를 하나 잡는다고 하면, normal 방향 힘 하나와 shear 방향 힘 두개로 분해할 수 있습니다. (그림출처 Advanced Mechanics of Materials and Applied Elasticity) 이때 단면의 면적 A를 0으로 보내면 각 힘도 0이 됩니다. 그렇다면 A가 0으로 갈 때, $\frac{F.. 2024. 4. 26.

[탄성학] 평면변형률(plane strain) 이란? z축 방향으로 무한히 긴 실린더가 있다고 합시다. 단면은 xy 평면입니다. 이 실린더 중간쯤에 어떤 점이 있다고 합시다. (x,y,z)라는 점입니다. 이 점의 변위를 $u(x,y,z)$, $v(x,y,z)$, $w(x,y,z)$ 라고 합시다. z축 방향으로 무한히 길기 때문에 z축 방향의 변위가 없다고 가정할 수 있습니다. 따라서 $w(x,y,z)=0$이라고 가정할 수 있습니다. 또한 z 축 방향으로의 $u$, $v$ 변화가 없다고 가정할 수 있습니다. - $w(x,y,z)=0$ - $u(x,y,z)$, $v(x,y,z)$는 z축에 독립 1) 변위-변형률 관계 응력 변형률 관계에 위 가정을 대입해봅시다. 3차원에서의 응력 변형률 관계는 아래와 같습니다. $\varepsilon_{x}=\frac{\part.. 2024. 4. 8.

[탄성학] 왜 수직변형률은 편미분으로 정의될까? 면저 1차원 물체부터 시작해봅시다. 아래와 같이 길이가 L선이 있습니다. 이 선이 힘을 받고 있습니다. 선은 변형이 될텐데, 선 위 각 지점에서의 변형을 u(x) 라고 정의하겠습니다. u(x)를 변형함수라고 부릅니다. 이 선 위에 한 점 $x_{1}$ 부터 $x_{1}+\Delta x_{1}$ 사이의 평균변화율은 아래와 같이 정의됩니다. $\frac{u(x_{1}+\Delta x)-u(x)}{\Delta x}$ $x_{1}$ 에서의 변화율은 아래와 같이 정의됩니다. $\varepsilon_{x}(x_{1})=\lim_{\Delta x \rightarrow 0}\frac{u(x_{1}+\Delta x)-u(x)}{\Delta x}= \left.\begin{matrix} \frac{du(x)}{dx} \en.. 2024. 4. 7.

[탄성학] 응력 평형 방정식 유도 아래 그림을 봅시다. 편미분 식이 나와 있는데, 응력을 좌표에 대한 함수라고 생각하면 됩니다. 예를 들어 $\sigma$는 $\sigma(x,y)$인 것입니다. 사실 이 그림은 어이없는 그림입니다. 응력은 점에 작용하는 것인데 면을 가정하였습니다. 그리고 각 면에 작용하는 응력은 균일하다 라는 가정을 합니다. 왼쪽 면을 생각해보면 아래꼭지점에서 위 꼭지점으로 갈 때 응력이 변하지 않는다는 가정입니다. 하지만 왼쪽 면과 오른쪽 면은 응력 차이가 있다고 가정합니다. 저는 이 가정이 좀 억지라고 생각하는데, 이렇게 유도된 공식이 잘 사용되고 있는걸 보면 결과적으로 틀린건 아닌가 봅니다. 엘리먼트의 중점을 잡고 억지 가정 없이 유도해 볼 수도 있을 것 같긴 한데, 일단 기존 방식대로 유도해봅시다. 물체가 평형 .. 2024. 4. 4.

[탄성학] 사면체에서의 응력 요소 아래와 같은 사면체가 있다고 합시다. 면 ABC 의 법선벡터는 $\vec{n}$입니다. 면 ABC 에서의 응력 요소를 $p_{x}$,$p_{y}$,$p_{z}$ 라고 합시다. p는 합응력입니다. 응력벡터를 법선벡터 n의 방향 코사인을 l,m,n 이라고 놓겠습니다. 각각 x,y,z 축과의 방향코사인입니다. $l^2+m^2+n^2=1$이 성립합니다. 이때 아래 등식이 유도됩니다. $\begin{align*} p_{x}&=\sigma_{x}l+\tau_{xy}m+\tau_{xz}n \\ p_{y}&=\tau_{xy}l+\sigma_{y}m+\tau_{yz}n \\ p_{z}&=\tau_{xz}l+\tau_{yz}m+\sigma_{z}n \end{align*}$ 행렬형태 식으로 나타내면 아래와 같습니다. $\b.. 2024. 3. 20.

[탄성학] 3차원에서 주응력 및 방향코사인 구하는 방법 주응력 구하는 방법 3차원에서 주응력을 구하는 수식은 아래와 같습니다. $\sigma_{p}$가 주응력입니다. $\sigma_{p}^3-I_{1}\sigma_{p}^2+I_{2}\sigma_{p}-I_{3}=0$ 위 3차방정식의 해를 구하면 됩니다. I들은 아래와 같습니다. $I_{1}=\sigma_{x}+\sigma_{y}+\sigma_{z}$ $l_{2}=\sigma_{x}\sigma_{y}+\sigma_{x}\sigma_{z}+\sigma_{y}\sigma_{z}-\tau_{xy}^2-\tau_{yz}^2-\tau_{xz}^2$ $I_{3}=\begin{vmatrix} \sigma_{x} & \tau_{xy} & \tau_{xz} \\ \tau_{xy} & \sigma_{y} & \tau_{yz} .. 2024. 3. 20.

[탄성학] 3차원 응력변환 (x,y,z) 좌표계에서의 응력요소를 (x',y',z')좌표계에서의 응력요소로 바꾸는 방법에 대해 알아봅시다. 유도과정은 생략하고 결과만 알아볼 것입니다. 두 좌표계 간의 방향코사인은 아래와 같습니다. x y z x' $l_{1}$ $m_{1}$ $n_{1}$ y' $l_{2}$ $m_{2}$ $n_{2}$ z' $l_{3}$ $m_{3}$ $n_{3}$ 변환 공식은 아래와 같습니다. $\sigma_{x'}=\sigma_{x}l^2_{1} +\sigma_{y}m^2_{1} +\sigma_{z}n^2_{1} +2( \tau_{xy} l_{1}m_{1} + \tau_{yz} m_{1}n_{1} + \tau_{xz} l_{1}n_{1})$ $\sigma_{y'}=\sigma_{x}l^2_{2} +\sigma_.. 2024. 3. 20.

[탄성학] 1. 탄성학의 목적 탄성학은 힘을 받은 물체의 응력과 변위를 분석하는 학문입니다. 탄성학에는 두가지 가정이 있습니다. 1) 하중을 제거했을 때 물체가 원래대로 돌아감 2) 선형변형 선형변형이라는 것은 가해진 하중에 응력과 변위가 선형 비례하는 것을 말합니다. y=ax 형태입니다. 선형가정을 통해 두가지 이득을 얻습니다. 1) 선형 중첩을 할 수 있음 2) 선형 변환을 적용할 수 있음 이러한 가정을 통해 문제 상황에 대한 수학적인 접근이 한결 쉬워집니다. 기계공학과에서는 탄성학 보다 재료역학을 먼저 배웁니다. 보통 학부 과정에서 재료역학을 배우고 대학원에서 탄성학을 배웁니다. 재료역학에서는 탄성학 보다 변형에 대한 가정을 더 많이 합니다. 둘을 완벽히 구분하는 것은 어렵지만 이렇게 구분해볼 수 있습니다. 재료역학은 탄성론보다.. 2024. 3. 17.

[탄성학 요약정리] 0. 탄성학이란? 탄성학은 기계공학과 대학원에서 배우는 과목입니다. 탄성학에서는 힘을 받은 물체의 응력과 변위를 구합니다. 힘을 받은 물체의 변형은 선형과 비선형 모두를 포함할 수 있는데, 탄성학에서는 선형적인 변형만을 다룹니다. 힘과 응력, 힘과 변위의 관계가 선형 비례관계라고 가정하는 것입니다. 기계공학과 학부생이라면 탄성학과 비슷한 과목을 알고 계실겁니다. 바로 재료역학입니다. 현재 기계공학과 교육과정에서는 학부과정에서 재료역학을 배우고 대학원에서 탄성학을 배웁니다. 탄성학이 더 이론적인 수학에 가깝고, 재료역학은 탄성학에 여러 이상적인 가정을 추가하여 실제 문제에 적용한 것이라고 할 수 있습니다. 탄성학에서 다루는 내용들을 간단히 살펴봅시다. 아래 목차는 J.R.Barber 의 책 Elasticity 에서 가져왔습.. 2024. 3. 6.

변형률 에너지란 무엇인가? (변형률에너지의 미분은?) 아래와 같은 응력-변형률 선도가 있다고 합시다. 이때 변형률 에너지는 아래와 같이 정의됩니다. $W(\varepsilon)=\int_{0}^{\varepsilon}\sigma(\varepsilon)d\varepsilon$ 변형률 에너지를 변형률로 미분하면 어떻게 되는지 알아봅시다. 우변 $\sigma$의 한 부정적분을 S 라고 놓겠습니다. 위 식은 아래와 같이 변형됩니다. $W(\varepsilon)=S(\varepsilon)-S(0)$ 양변을 변형률로 미분하면 아래와 같습니다. $\frac{d W(\varepsilon)}{d \varepsilon}=\sigma(\varepsilon)$ 변형률 에너지를 미분하면 응력이 나옵니다. 2023. 10. 18.

탄성학 기본구성 방정식 (응력평형방정식,변형률-변위 관계식, 응력-변형률 관계식) 1) 응력 평형 방정식 $\frac{\partial \sigma_{xx}}{\partial x}+ \frac{\partial \sigma_{yx}}{\partial y}+ \frac{\partial \sigma_{zx}}{\partial z}+ f_{x}=0$ $\frac{\partial \sigma_{xy}}{\partial x}+ \frac{\partial \sigma_{yy}}{\partial y}+ \frac{\partial \sigma_{zy}}{\partial z}+ f_{y}=0$ $\frac{\partial \sigma_{xz}}{\partial x}+ \frac{\partial \sigma_{yz}}{\partial y}+ \frac{\partial \sigma_{zz}}{\partial.. 2023. 10. 16.

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