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동역학25

[동역학] 등속원운동하는 물체의 운동 분석 어떤 입자가 원점을 중심으로 등속 원운동을 하고 있다고 합시다. 오늘은 이 물체의 운동을 분석해 보겠습니다. 1. 속도 분석 시간 t에서 입자의 위치를 $\vec{r}(t)$, 시간 $t+\Delta t$ 에서 물체의 위치를 $\vec{r}(t+\Delta t)$ 라고 합시다. 이때 평균 속도는 아래와 같이 정의됩니다. $\vec{v}_{avg}=\frac{\vec{r}(t+\Delta t)-\vec{r}(t)}{\Delta t}$ 순간속도는 아래와 같은 극한값으로 정의됩니다. $\vec{v}=\lim_{\Delta t \rightarrow 0}\frac{\vec{r}(t+\Delta t)-\vec{r}(t)}{\Delta t}=\frac{d\vec{r}(t)}{dt}$ 순간 속도의 방향은 입자가 그리는.. 2023. 5. 1.

[동역학] 비스듬히 던진 물체의 운동 분석 어떤 물체를 높이 h에서 초기 속도 $v(0)$ 로 비스듬히 던졌다고 합시다. 던진 방향과 지면이 이루는 각도는 $\theta$ 입니다. 이때 물체의 운동을 분석해봅시다. 변위,속도,가속도를 구할 것입니다. 1. 수직방향 운동분석 수평방향을 y방향으로 놓고 운동을 분석해봅시다. 가속도는 -g입니다. $a_{y}(t)=-g$ 가속도 함수를 적분하여 속도함수를 구합시다. 수직 방향 초기 속도는 $v(0)\sin\theta$입니다. $v_{y}(t)=v(0)\sin\theta-gt$ 속도함수를 적분하여 변위함수를 구합니다. $s_{y}(t)=s(0)+v(0)\sin\theta-\frac{1}{2}gt^2$ $s(0)$는 h입니다. $s_{y}(t)=h+v(0)\sin\theta t-\frac{1}{2}gt^2.. 2023. 4. 25.

[동역학] 수평 방향으로 던진 물체의 운동 분석 어떤 물체를 높이 h에서 수평 방향으로 초기 속도 $v(0)$ 으로 던졌다고 합시다. 이때 물체의 운동을 분석해봅시다. 변위,속도,가속도를 구할 것입니다. 1. 수직방향 운동분석 수평방향을 y방향으로 놓고 운동을 분석해봅시다. 가속도는 -g입니다. $a_{y}(t)=-g$ 가속도 함수를 적분하여 속도함수를 구합시다 . $v_{y}(t)=v(0)-gt$ $v(0)$ 는 0입니다. $v_{y}(t)=-gt$ 속도함수를 적분하여 변위함수를 구합니다. $s_{y}(t)=s(0)-\frac{1}{2}gt^2$ $s(0)$는 h입니다. $s_{y}(t)=h-\frac{1}{2}gt^2$ $s_{y}-t$그래프를 그리면 아래와 같습니다. 2. 수평방향 운동분석 수평방향을 x방향으로 놓고 운동을 분석해봅시다. 가속도는.. 2023. 4. 24.

[동역학] 수직 방향으로 던진 물체의 운동 분석 어떤 물체를 높이 h에서 수직 방향으로 초기 속도 $v(0)$로 던졌다고 합시다. 이때 물체의 운동을 분석해봅시다. 변위,속도,가속도를 구할 것입니다. 가속도함수에서 출발합시다. 가속도는 중력가속도만 존재합니다. 지면에 수직 방향을 +로 놓으면 가속도 함수는 아래와 같습니다. $a(t)=-g$ 가속도 함수를 적분하여 속도함수를 구합시다. $v(t)=v(0)-gt$ 그래프는 아래와 같습니다. 속도함수를 적분하여 변위함수를 구합시다. $s(t)=h+v(0)t-\frac{1}{2}gt^2$ 최대 높이와 시간을 구하기 위해 완전제곱식으로 변형합시다. 아래와 같이 묶어줍니다. $s=-\frac{1}{2}g\left ( t^2-\frac{2v(0)}{g}t \right )+h$ 완전제곱식으로 만들기 위해 괄호 안에.. 2023. 4. 21.

[동역학] 직선운동에서 변위,속도,가속도의 적분관계 1. 가속도 함수로 속도함수 구하기 어떤 물체가 직선운동을 하고 있습니다. 가속도 함수를 a(t), 속도 함수를 v(t)라고 놓으면 두 함수의 미분관계는 아래와 같습니다. $\frac{dv(t)}{dt}=a(t)$ 양 변을 t에 대해 적분합시다. $\int_{0}^{t} \frac{dv(t)}{dt}dt=\int_{0}^{t} a(t)dt$ 좌변은 아래와 같이 계산됩니다. $v(t)-v(0)=\int_{0}^{t} a(t)dt$ v(0)를 이항하면 v(t)에 대한 식을 얻습니다. $v(t)=v(0)+\int_{0}^{t} a(t)dt$ 위 식은 가속도 함수를 알고 있을 때, 속도 함수를 구하는 수식입니다. 2. 속도 함수로 변위 구하기 변위 함수를 $s(t)$로 놓으면 속도함수와 변위함수의 미분관계는 아.. 2023. 4. 21.

[동역학] 직선운동에서 변위,속도,가속도의 미분관계 1. 설명 직선운동을 가정하겠습니다. 변위함수가 s(t)가 있다고 합시다. 만약 평면이나 공간에서의 운동을 가정하면 변위함수는 벡터함수가 됩니다. 변위함수를 시간에 대해 미분하면 속도함수가 됩니다. 변위함수의 그래프에서 기울기가 속도입니다. $\frac{ds(t)}{dt}=v(t)$ 속도함수를 시간에 대해 미분하면 가속도함수가 됩니다. 속도 함수의 그래프에서 기울기가 가속도입니다. $\frac{dv(t)}{dt}=a(t)$ 2. 예시 어떤 물체의 변위 함수가 아래와 같다고 합시다. $s(t)=t^2+1$ t=0 일 때, 처음 위치는 0입니다. 1초일 때 위치는 2입니다. 2초일 때는 5입니다. 속도 함수를 구해봅시다. 미분하면 됩니다. $v(t)=2t$ 이 물체는 속도가 증가하는 운동을 하고 있습니다. .. 2023. 4. 21.

[동역학] 역학적 에너지 보존 (3) 역학적 에너지 보존법칙 유도 지난시간에 논의한 내용을 확장해봅시다. 몇가지 설정을 추가하겠습니다. 높이 $h_{1}$ 에서 질량 m 인 물체를 떨어뜨렸다고 합시다. 물체가 $h_{2}$와 $h_{3}$를 지났습니다. 물체의 높이가 $h_{2}$에서 $h_{3}$가 되는 동안 중력이 한 일을 구해봅시다. 공기 저항은 무시합시다. 중력이 당기는 방향으로 $h_{2}-h_{3}$ 만큼 이동했으므로, 중력이 한 일은 $mg(h_{2}-h_{3})$ 입니다. 중력이 한 일은 물체의 운동에너지로 전환됩니다. 일과 운동에너지의 관계에 관하여 지난 시간에 유도한 등식은 아래와 같습니다. $\frac{mv_{0}^2}{2}+F\Delta s=\frac{mv(t)^2}{2}$ 높이 $h_{2}$에서의 속도를 $v_{2}$, 높이 $h_{3}$ 에서의.. 2023. 4. 17.

[동역학] 역학적 에너지 보존 (2) 중력이 한 일 높이 $h_{1}$ 에서 질량 m 인 물체를 떨어뜨렸다고 합시다. 물체가 $h_{2}$ 까지 떨어졌을 때 중력이 한 일을 구해봅시다. 공기 저항은 무시합시다. 물체가 떨어지는 이유는 중력이 물체를 당기고 있기 때문입니다. 중력이 당기는 방향으로 $h_{1}-h_{2}$ 만큼 이동했으므로, 중력이 한 일은 $mg(h_{1}-h_{2})$ 입니다. 중력이 한 일은 물체의 운동에너지로 전환됩니다. 일과 운동에너지의 관계에 관하여 지난 시간에 유도한 등식은 아래와 같습니다. $\frac{mv_{0}^2}{2}+F\Delta s=\frac{mv(t)^2}{2}$ 초기 속도가 0이라면 아래 등식이 성립합니다. $F\Delta s=\frac{mv(t)^2}{2}$ F 자리에 mg 를 넣고 $\Delta s$ 자리에 .. 2023. 4. 17.

[동역학] 역학적 에너지 보존 (1) 운동에너지 유도 (일과 운동에너지) 운동에너지는 $\frac{1}{2}mv^2$ 입니다. 운동하는 물체가 가진 에너지인데요. 운동에너지는 어떻게 유도된걸까요. 함께 알아봅시다. 등가속도 운동을 가정하고 유도하겠습니다. 등가속도 운동에서 가속도 함수는 아래와 같습니다. $a(t)=a$ 가속도 함수를 적분하여 속도함수를 구합시다. $v(t)=v_{0}+at$ 속도 함수를 적분하여 변위 함수를 구합시다. $s(t)=s_{0}+v_{0}t+\frac{1}{2}at^2$ 변위함수를 아래와 같이 변형합시다. $s(t)-s_{0}=v_{0}t+\frac{1}{2}at^2$ 속도함수를 아래와 같이 변형하여 시간 t에 대해 정리합시다. $t=\frac{v(t)-v_{0}}{a} $ 변위 함수에 대입합시다. $s(t)-s_{0}=v_{0}\cdot \fra.. 2023. 4. 17.

[동역학] 운동량과 충격량 (2) 운동량 보존법칙 쉬운 설명 운동량 보존 법칙은 외력의 합이 0일 때 운동량이 보존된다는 법칙입니다. 두 물체가 충돌할 때 에너지 손실이 없다고 가정하면, 충돌 전과 후의 운동량은 보존되므로 아래와 같은 수식으로 나타낼 수 있습니다. $m_{1}v_{1}+m_{2}v_{2}=m_{1}v'_{1}+m_{2}v'_{2}$ 위 식을 유도해봅시다. 두 물체가 충돌했다고 합시다. 먼저 1번 물체에 입장에서 운동량 충격량 공식을 쓰면 아래와 같습니다. $m_{1}v_{1}+\int_{t_{1}}^{t_{2}} F_{21}dt=m_{1}v'_{1}$ $F_{21}$은 물체 2가 1에 가하는 힘입니다. 물체 2 입장에서 운동량 충격량 공식을 쓰면 아래와 같습니다. $m_{2}v_{2}+\int_{t_{1}}^{t_{2}} F_{12}dt=m_{2.. 2023. 4. 15.

[동역학] 운동량과 충겨량 (1) 운동량과 충격량 쉽게 이해하기 운동량과 충격량에 대해 공부해봅시다. 운동량과 충격량 공식은 뉴튼의 2법칙에서 유도됩니다. 뉴튼의 2법칙은 아래와 같습니다. $\sum F=ma$ 가속도가 상수가 아니라 시간에 대한 함수라고 가정합시다. $\sum F=ma(t)$ 이때 가속도 함수 a(t) 는 아래와 같이 변형됩니다. $\sum F=\ m\frac{dv(t)}{dt}$ 양변을 t로 적분합시다. $\int_{t_{1}}^{t_{2}} \sum Fdt=\int_{t_{1}}^{t_{2}} m\frac{dv(t)}{dt}dt$ 우변의 m은 시간에 따라 변하지 않으므로 밖으로 꺼낼 수 있습니다. $\int_{t_{1}}^{t_{2}} \sum Fdt=m\int_{t_{1}}^{t_{2}} \frac{dv(t)}{dt}dt$ 힘은 시간에 대해 변.. 2023. 4. 13.

[동역학] 13. 곡선위를 움직이는 점의 순간속도와 순간가속도를 법선벡터와 접선벡터로 나타내기 한 점이 곡선 위를 움직이고 있습니다. 점 P에서의 순간 속도의 크기를 v, 접선벡터를 $\vec{e}_{t}$ 라고 할 때, 순간 속도벡터는 아래와 같이 표현됩니다. $\vec{v}=v \vec{e}_{t}$ 양변을 미분하면 가속도 벡터를 구할 수 있습니다. 미분합시다. $\vec{a}=\frac{d \vec{v}}{dt}=\frac{dv}{dt}\vec{e}_{t}+v\frac{d \vec{e}_{t}}{dt}$ 두번째 항에 아래와 같이 체인룰을 적용할 수 있습니다. $\vec{a}=\frac{d \vec{v}}{dt}=\frac{dv}{dt}\vec{e}_{t}+v\frac{d \vec{e}_{t}}{d \theta}\frac{d \theta}{ds}\frac{ds}{dt}$ $\frac{d \ve.. 2022. 4. 11.

[동역학] 접선벡터와 법선벡터 관계식 유도 3차원 곡선 위의 한 점에서 법선(normal)방향의 단위벡터와 접선(tangent) 방향의 단위벡터를 정의할 수 있습니다. 기호로 아래와 같이 나타냅니다. 단위 법선 벡터 : $\vec{e}_{n}$ 단위 접선 벡터 : $\vec{e}_{t}$ 그림으로 나타내면 아래와 같습니다. 점 P가 P'으로 이동했다고 합시다. 이동한 P'의 접선벡터를 $\vec{e}'_{t}$라고 놓겠습니다. 아래 그림과 같이 두 점 사이의 변위벡터를 $\Delta \vec{e}_{t}$ 라고 놓겠습니다. $\vec{e}'_{t}$ 와 $\vec{e}_{t}$ 를 따로 그리면 아래와 같습니다. 사이 각도는 $\Delta \theta$로 놓겠습니다. $\Delta \vec{e}_{t}$ 는 아래와 같이 표현됩니다. $\Delta .. 2022. 4. 11.

[동역학] 입자의 곡선운동 예제 : 포물선 운동 입자를 $t=0$시간에 원점에서 초기속도 $\vec{v}_{0}$ 로 던졌다고 합시다. 대각선 위 방향으로 입자를 던졌다고 생각하면 됩니다. 초기 속도벡터는 아래와 같습니다. $\vec{v}_{0}=\left [ (v_{x})_{0},(v_{y})_{0},(v_{z})_{0} \right ]$ 위(하늘) 방향을 z라고 하겠습니다. 가속도는 아래와 같습니다. $\vec{a}=\left [ 0,0,-g \right ]$ 가속도로 부터 시간 t에서의 속도를 구하면 아래와 같습니다. 가속도가 일정한 경우의 속도 수식인 $v=v_{0}+at$를 이용합니다. $\vec{v}=\left [ (v_{x})_{0},(v_{y})_{0},(v_{z})_{0}-gt \right ]$ 속도로 부터 시간 t에서의 변위를 구하면.. 2021. 7. 23.

[동역학] 3차원에서 입자의 곡선운동 3차원에서 입자의 곡선운동을 표현해봅시다. 위치, 속도, 가속도로 운동을 표현해볼 것입니다. 위치 먼저 시간 t에서의 입자의 위치를 벡터를 이용하여 표현하겠습니다. 시간 t에서 입자의 위치는 아래와 같이 표현됩니다. 원점으로 부터의 위치벡터입니다. $\vec{r}$ 이 벡터는 시간의 함수입니다. 따라서 자세히 표현하면 아래와 같습니다. $\vec{r}(t)=\left [x(t),y(t),z(t) \right ]$ 속도 $\Delta t$ 라는 시간이 흘렀고, 입자의 위치가 변했습니다. 변한 위치의 위치벡터를 $\vec{r'}$라고 합시다. 자세히 표현하면 아래와 같습니다. $\vec{r'}=\vec{r}(t+\Delta t)=\left [x(t+\Delta t),y(t+\Delta t),z(t+\Delt.. 2021. 7. 23.

[동역학] 가속도가 일정한 경우의 1차원 운동(위치,속도) 가속도가 $a$ 로 일정하다고 합시다. 이때 변위와 속도를 구해봅시다. 가속도가 일정한 경우 속도 가속도가 일정한 경우의 속도는 아래 수식을 이용하여 구할 수 있습니다. $\frac{dv}{dt}=a$ 아래와 같이 변형합시다. $dv=adt$ 양변을 적분합시다. $\int_{v_{0}}^{v}dv=\int_{0}^{t}adt$ 우변의 가속도는 적분상수와 무관하므로 밖으로 꺼낼 수 있습니다. $\int_{v_{0}}^{v}dv=a\int_{0}^{t}dt$ 적분을 계산합시다. $v-v_{0}=at$ 이항합시다. $v=v_{0}+at$ 가속도가 일정한 경우 위치 가속도가 일정한 경우의 변위는 위에서 구한 속도 수식과 아래 수식을 이용하여 구할 수 있습니다. $\frac{dx}{dt}=v$ 위에서 구한 속도수.. 2021. 7. 22.

[동역학] 속도가 일정한 경우의 1차원 운동(위치,가속도) 속도가 $v$로 일정하다고 합시다. 이때 변위와 가속도를 구해봅시다. 속도가 일정한 경우의 위치 변위는 아래 수식을 통해 구할 수 있습니다. $\frac{dx}{dt}=v$ 아래와 같이 변형합시다. $dx=vdt$ 양변을 적분합시다. $\int_{x_{0}}^{x}dx=\int_{0}^{t}vdt$ 속도는 적분과 관계 없으므로 밖으로 꺼낼 수 있습니다. $\int_{x_{0}}^{x}dx=v\int_{0}^{t}dt$ 양변을 계산합시다. x-x_{0}=vt 이항합시다. 변위를 구하였습니다. $x=x_{0}+vt$ 속도가 일정한 경우의 가속도 이번에는 가속도를 구해봅시다. 아래 수식을 이용합니다. $\frac{dv}{dt}=a$ v가 상수이므로 t로 미분하면 0입니다. 따라서 가속도는 0입니다. 2021. 7. 22.

[동역학] 가속도가 변위의 함수로 주어진 경우 1차원 운동 가속도가 변위의 함수로 주어진 경우 아래 수식을 아용하여 속도를 변위의 함수로 표현할 수 있습니다. $vdv=adx$ 가속도가 $a=f(x)$ 로 주어졌다고 합시다. 위 수식에 대입하고 적분하면 아래와 같습니다. $\int_{v_{0}}^{v}vdv=\int_{x_{0}}^{x}f(x)dx$ 좌변은 계산이 가능합니다. $\frac{1}{2}v^{2}-\frac{1}{2}v_{0}^{2}=\int_{x_{0}}^{x}f(x)dx$ 2021. 7. 22.

[동역학] 가속도가 시간의 함수로 주어진 경우 1차원 운동 (위치,속도) 변위가 시간의 함수로 주어져 있는 경우에는 미분을 통해 속도, 가속도를 구할 수 있습니다. 반면 가속도가 시간의 함수로 주어져 있는 경우에는 적분을 통해 속도와 변위를 구할 수 있습니다. 시간에 따른 가속도가 a=f(t)로 주어져 있다고 합시다. 속도 시간 t에서의 속도는 아래와 같이 구합니다. $$\begin{align} \int_{v_{0}}^{v}dv &=\int_{0}^{t}f(t)dt \\ v-v_{0}&=\int_{0}^{t}f(t)dt \\ v&=v_{0}+\int_{0}^{t}f(t)dt \end{align}$$ 위치 위해서 구한 속도도 t에 대한 함수입니다. g(t)라고 놓겠습니다. 시간 t에서의 변위는 아래와 같이 구합니다. $$\begin{align} \int_{x_{0}}^{x}dx.. 2021. 7. 20.

[동역학] 1차원에서의 위치,변위,속도,가속도 예제 풀이 1차원에서 입자의 위치가 시간의 함수로 주어져 있다고 합시다. $x=1-5t^2+2t^3$ 시간 t에서 입자의 순간속도는 아래와 같습니다. $v=\frac{dx}{dt}=-10t+6t^2$ 시간 t에서 입자의 순간가속도는 아래와 같습니다. $a=\frac{dv}{dt}=-10+12t$ 2021. 7. 19.

[동역학] 시간이 소거된 변위,속도,가속도 수식 지난시간에 배운 순간속도, 순간가속도의 정의는 아래와 같습니다. $v=\frac{dx}{dt}$ $a=\frac{dv}{dt}$ 두 식을 아래와 같이 변형합시다. $dt=\frac{1}{v}dx$ $dt=\frac{1}{a}dv$ 따라서 아래 등식이 성립합니다. $\frac{1}{v}dx=\frac{1}{a}dv$ 아래와 같이 변형합시다. $a=v\frac{dv}{dx}$ 2021. 7. 19.

[동역학] 1차원에서의 위치,변위,속도,가속도 1차원에서 운동하는 물체가 있다고 합시다. 직선 위를 운동하는 입자를 상상할 수 있습니다. 위치 직선 위의 한 위치를 원점으로 정의합시다. 원점은 O라고 부릅니다. 이제 입자의 위치를 원점으로 부터의 거리로 나타낼 수 있습니다. 입자가 원점으로 부터 오른쪽으로 x만큼 이동했다면 입자의 위치는 x입니다. 변위 변위는 "위치의 변화"입니다. 입자가 x라는 위치에서 x' 으로 이동했다면 변위는 아래와 같습니다. $\Delta x = x'-x$ 1차원에서는 이동거리와 변위가 같습니다. 2차원 이상이 되면 이동거리와 변위가 달라질 수 있습니다. 평균속도 이제 시간을 추가해봅시다. 입자가 시간 t동안 원점에서 x라는 위치로 이동했고, 이후 $\Delta t$동안 x 에서 x' 으로 이동했다고 합시다. 평균속도는 아.. 2021. 7. 9.

[동역학] 몸무게는 질량인가 무게인가 (kg와 kgf) 누군가 저에게 이렇게 물었습니다. "당신의 몸무게는 얼마인가요?" 저는 이렇게 답했습니다. "72kg 입니다. " 익숙한 대화 이지만, 엄밀히 따져보면 어딘가 이상합니다. 무게의 정의는 아래와 같습니다. "질량이 있는 물체가 받는 중력의 크기" 무게는 '힘'입니다. 반면 kg은 질량을 나타내는 단위입니다. 당신이 중력으로 부너 받는 힘(무게)이 얼마냐고 물었는데 질량으로 답한 것입니다. 굳이 대화를 수정하자면 이렇습니다. "당신의 질량은 얼마인가요? "72kg 입니다. 또는 이런 대화도 가능합니다. "당신의 몸무게는 얼마인가요? "72kg이 지구 중력으로 부터 받는 힘입니다." 72kg이 지구에 있을 때 중력으로 부터 받는 힘은 아래와 같이 나타냅니다. 72kgf 칠십이킬로그람힘 이라고 읽습니다. 72k.. 2021. 7. 9.

[동역학] 1N은 몇 kg 인가? 뉴튼은 힘의 단위이고 kg은 질량의 단위입니다. 힘은 질량에 가속도를 곱하여 정의됩니다. 1N은 아래와 같이 정의됩니다. $1N=(1kg)(1m/s^{2})=1kg\cdot m/s^{2}$ 따라서 1N이 몇 kg 이냐고 묻는 것은 성립되지 않는 질문입니다. 단위가 다르기 때문입니다. 그런데 이러한 상황이 있을 수 있습니다. 실험을 하다 보면 100N의 하중을 가해야 하는 경우가 있는데, 이런 의문이 들 수는 있습니다. 100N 하중은 몇 kg 정도 될까? 엄밀히는 틀린 질문이지만 질문의 의도를 생각해보면 답변이 가능합니다. 이 질문은 100N이 질량으로 몇 kg 이 되냐고 묻는 것이 아닙니다. 이 질문의 의도는 이렇습니다. 100N 이라는 것은 지구에서 몇 kg이 가하는 힘과 비슷할까? 지구에는 중력이 .. 2021. 7. 9.

[동역학] 동역학은 무엇을 배우는 학문인가? 동역학은 크게 두가지 내용을 다룹니다. 운동학과 운동역학입니다. - 운동학(kinematics) - 운동역학(kinetics) 운동학은 물체의 운동만을 다루는 것입니다. 물체가 움직일 때 변위, 속도, 가속도를 이용하여 운동을 표현하는 것입니다. 운동역학은 운동과 힘의 관계를 분석합니다. 운동과 힘의 관계를 표현하는 대표적인 수식은 뉴튼의 2법칙입니다. 힘과 가속도의 관계인 F=ma 이죠. 또 일과 에너지원리, 운동량 충격량 원리가 있습니다. 운동하는 물체로는 입자와 강체를 다룹니다. 입자는 부피가 없어서 회전운동을 하지 않기 때문에 다루기가 쉽습니다. 강체는 부피가 있기 때문에 회전운동을 합니다. 또 물체를 어느 차원에서 다루느냐로 구분할 수 있습니다. 2차원 평면에서의 운동과 3차원 공간에서의 운동이.. 2018. 10. 11.

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