(x,y,z) 좌표계에서의 응력요소를 (x',y',z')좌표계에서의 응력요소로 바꾸는 방법에 대해 알아봅시다. 유도과정은 생략하고 결과만 알아볼 것입니다. 두 좌표계 간의 방향코사인은 아래와 같습니다.
x | y | z | |
x' | $l_{1}$ | $m_{1}$ | $n_{1}$ |
y' | $l_{2}$ | $m_{2}$ | $n_{2}$ |
z' | $l_{3}$ | $m_{3}$ | $n_{3}$ |
변환 공식은 아래와 같습니다.
$\sigma_{x'}=\sigma_{x}l^2_{1} +\sigma_{y}m^2_{1} +\sigma_{z}n^2_{1} +2( \tau_{xy} l_{1}m_{1} + \tau_{yz} m_{1}n_{1} + \tau_{xz} l_{1}n_{1})$
$\sigma_{y'}=\sigma_{x}l^2_{2} +\sigma_{y}m^2_{2} +\sigma_{z}n^2_{2} +2( \tau_{xy} l_{2}m_{2} + \tau_{yz} m_{2}n_{2} + \tau_{xz} l_{2}n_{2})$
$\sigma_{z'}=\sigma_{x}l^2_{3} +\sigma_{y}m^2_{3} +\sigma_{z}n^2_{3} +2( \tau_{xy} l_{3}m_{3} + \tau_{yz} m_{3}n_{3} + \tau_{xz} l_{3}n_{3})$
$\tau_{x'y'}=\sigma_{x} l_{1}l_{2} + \sigma_{y} m_{1}m_{2} + \sigma_{z} n_{1}n_{2} + \tau_{xy}(l_{1}m_{2}+m_{1}l_{2}) + \tau_{yz}(m_{1}n_{2}+n_{1}m_{2}) + \tau_{xz}(n_{1}l_{2}+l_{1}n_{2})$
$\tau_{y'z'}=\sigma_{x} l_{2}l_{3} + \sigma_{y} m_{2}m_{3} + \sigma_{z} n_{2}n_{3} + \tau_{xy}(l_{2}m_{3}+m_{2}l_{3}) + \tau_{yz}(m_{2}n_{3}+n_{2}m_{3}) + \tau_{xz}(n_{2}l_{3}+l_{2}n_{3})$
$\tau_{x'z'}=\sigma_{x} l_{1}l_{3} + \sigma_{y} m_{1}m_{3} + \sigma_{z} n_{1}n_{3} + \tau_{xy}(l_{1}m_{3}+m_{1}l_{3}) + \tau_{yz}(m_{1}n_{3}+n_{1}m_{3}) + \tau_{xz}(n_{1}l_{3}+l_{1}n_{3})$
행렬 형태로 나타내면 아래와 같습니다.
$\begin{bmatrix}
\sigma_{x'} \\
\sigma_{y'} \\
\sigma_{z'} \\
\tau_{x'y'} \\
\tau_{y'z'} \\
\tau_{x'z'} \\
\end{bmatrix}
=\begin{bmatrix}
l^2_{1} & m^2_{1} &n^2_{1} & 2l_{1}m_{1} & 2m_{1}n_{1} & 2l_{1}n_{1} \\
l^2_{2} & m^2_{2} &n^2_{2} & 2l_{2}m_{2} & 2m_{2}n_{2} & 2l_{2}n_{2} \\
l^2_{3} & m^2_{3} &n^2_{3} & 2l_{3}m_{3} & 2m_{3}n_{3} & 2l_{3}n_{3} \\
l_{1}l_{2} & m_{1}m_{2} & n_{1}n_{2} & l_{1}m_{2}+m_{1}l_{2} & m_{1}n_{2}+n_{1}m_{2} & n_{1}l_{2}+l_{1}n_{2} \\
l_{2}l_{3} & m_{2}m_{3} & n_{2}n_{3} & l_{2}m_{3}+m_{2}l_{3} & m_{2}n_{3}+n_{2}m_{3} & n_{2}l_{3}+l_{2}n_{3} \\
l_{1}l_{3} & m_{1}m_{3} & n_{1}n_{3} & l_{1}m_{3}+m_{1}l_{3} & m_{1}n_{3}+n_{1}m_{3} & n_{1}l_{3}+l_{1}n_{3} \\
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
\sigma_{x} \\
\sigma_{y} \\
\sigma_{z} \\
\tau_{xy} \\
\tau_{yz} \\
\tau_{xz} \\
\end{bmatrix}$
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