[탄성학] 평면응력문제와 평면변형률 문제의 적합방정식

평형방정식 3개, 변형률-변위 관계식 6개, 응력-변형률 관계식 6새로 총 15개의 방정식을 아래 방정식 하나로 축약할 수 있습니다. 축약 과정은 생략합니다. 

 

<평면응력>
$\left ( \frac{\partial^2}{\partial x^2}+\frac{\partial^2}{\partial y^2} \right )\left ( \sigma_{x}+\sigma_{y} \right )=-\left ( 1+\nu \right )\left ( \frac{\partial f_{x}}{\partial x}+\frac{\partial f_{y}}{\partial y} \right )$

 

<평면 변형률>

$\left ( \frac{\partial^2}{\partial x^2}+\frac{\partial^2}{\partial y^2} \right )\left ( \sigma_{x}+\sigma_{y} \right )=-\frac{1}{1-\nu}\left ( \frac{\partial f_{x}}{\partial x}+\frac{\partial f_{y}}{\partial y} \right )$

 

만약 body force 가 constant 라면, 평면응력과 평면변형률 문제의 적합방정식은 아래와 같이 동일해집니다. 

 

$\left ( \frac{\partial^2}{\partial x^2}+\frac{\partial^2}{\partial y^2} \right )\left ( \sigma_{x}+\sigma_{y} \right )=0$