반응형 기계공학 기타과목(4대역학 외)/유한요소해석 강의15 [유한요소법] 7. 최소 포텐셜 에너지 원리 (3) 내부 변형에너지를 행렬형태로 위 스프링의 내부변형 에너지는 아래와 같습니다. $U=\frac{1}{2}k\left ( u_{2}-u_{1} \right )^{2}$ 위 식을 행렬 형태로도 표현할 수 있습니다. $U=\frac{1}{2}\begin{bmatrix} u_{2} & u_{1} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} k & -k\\ -k & k \end{bmatrix} \begin{bmatrix} u_{2}\\ u_{1} \end{bmatrix}$ 간단히 나타내면 아래와 같습니다. [ ]을 행렬 { } 을 열벡터 표현기호로 놓았습니다. $U=\frac{1}{2}\left \{ d \right \}^{T}\left [ k \right ]\left \{ d \right \}$ 2022. 3. 31. [유한요소법] 7. 최소 포텐셜 에너지 원리 (2) 선형 스프링 1개 아래와 그림과 같이 스프링 양 쪽에 T라는 힘이 작용하고 있습니다. 각 노드에서의 변위($u1,u2$)를 최소 포텐셜 에너지 원리를 이용하여 구하세요. 전체 포텐셜 에너지 전체 포텐셜 에너지는 내부 변형률에너지와 외부 포텐셜에너지의 합입니다. 위 그림에서 내부 변형률 에너지는 아래와 같이 정의됩니다. $U=\frac{1}{2}k\left ( u_{2}-u_{1} \right )^{2}$ 각 노드에 가해지는 힘을 $f_{1}$ 와 $f_{2}$로 놓으면 외부 포텐셜 에너지는 아래와 같이 정의됩니다. $V=-f_{1}u_{1}-f_{2}u_{2}$ 전체포텐셜 에너지는 아래와 같습니다. $\Pi=U+V=\frac{1}{2}k\left ( u_{2}-u_{1} \right )^{2}-f_{1}u_{1}-f_{2.. 2022. 3. 31. [유한요소법] 7. 최소 포텐셜 에너지 원리 (1) 개념 - 최소 퍼텐셜에너지 원리는 전체 포텐셜에너지를 최소화하도록 변위가 발생한다는 원리입니다. - 최소 포텐셜 에너지 원리(이하 MPE)는 직접강성법 보다는 일반적이고 가상일원리 보다는 그렇지 않습니다. - MPE는 plane stress/strain, plate, 3d solid 등에 적용이 가능하지만 탄성 조건에서만 적용할 수 있는 한계가 있습니다. - MPE는 변분법의 일종입니다. - 변분법 적용이 어려운 경우는 가중잔차법을 사용합니다. 물체에 힘이 가해져서 물체가 변형되는 상황을 생각해봅시다. 이때 전체 포텐셜 에너지($\Pi$)는 물체의 내부 변형률 에너지(U)와 외력의 포텐셜 에너지(V)의 합으로 정의됩니다. $\Pi=U+V$ 간단한 예제에 적용해봅시다. 스프링 상수가 k인 스프링에 F라는 힘을 .. 2022. 3. 31. [유한요소법] 6. 강성행렬 감잡기 (7) 직렬스프링+끝단고정 예제) 아래와 같이 스프링 세개가 직렬로 연결되어 있습니다. 양 끝단은 고정되어 있고, 4번 노드에 50kN 의 하중이 가해지고 있습니다. 노드 3,4 에서의 변위를 구해보세요. 변위-하중 방정식 스프링이 3개인 경우의 변위-하중 방정식은 아래와 같습니다. $\begin{bmatrix} f_{1}^{(1)}\\ f_{2}^{(1)}+f_{2}^{(2)}\\ f_{3}^{(2)}+f_{3}^{(3)}\\ f_{4}^{(3)} \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} k_{1} & -k_{1} & 0 & 0\\ -k_{1} & (k_{1}+k_{2}) &-k_{2} &0 \\ 0 & -k_{2} & (k_{2}+k_{3}) & -k_{3}\\ 0 & 0 & -k_{3} & k_{3} \end{.. 2022. 3. 31. [유한요소법] 6. 강성행렬 감잡기 (6) 직렬 스프링 2개 예제 예제) 아래와 같이 스프링 두개가 직렬로 연결되어 있습니다. 양 끝에는 10KN씩 하중이 가해지고 있습니다. 노드 1,2,3 에서의 변위를 구해보세요. 변위-하중 방정식 먼저 각 스프링의 변위-하중 방정식을 세우면 아래와 같습니다 $\begin{bmatrix} f^{(1)}_{1}\\ f^{(1)}_{2} \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 100 & -100 \\ -100 & 100 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} u_{1}\\ u_{2} \end{bmatrix}$ $\begin{bmatrix} f^{(2)}_{2}\\ f^{(2)}_{3} \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 200 & -200 \\ -200 & 200 \end{bmatrix.. 2021. 6. 15. [유한요소법] 6. 강성행렬 감잡기 (5) 스프링 병렬연결 아래와 같이 스프링이 직렬 및 병렬연결되어 있습니다. 양 쪽에 T라는 힘이 작용하고 있습니다. 각 노드에서의 변위를 $u1,u2,u3$ 라고 놓겠습니다. 각 요소의 힘-변위 방정식 구하기 스프링 1에서의 힘-변위 방정식은 아래와 같습니다. 하중에서 위 첨자는 스프링번호, 아래첨자는 노드번호입니다. $\begin{bmatrix} f^{(1)}_{1}\\ f^{(1)}_{2} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} k_{1} &-k_{1} \\ -k_{1} &k_{1} \end{bmatrix}\begin{bmatrix} u_{1}\\ u_{2} \end{bmatrix}$ 스프링 2에서의 힘-변위 방정식은 아래와 같습니다. $\begin{bmatrix} f^{(2)}_{2}\\ f^{(2)}.. 2021. 6. 11. [유한요소법] 6. 강성행렬 감잡기 (4) 스프링 직렬연결 중첩규칙 스프링 2개를 직렬연결했을 때 강성행렬은 아래와 같이 중첩됩니다. 스프링 3개를 직렬연결했을 때 강성행렬은 아래와 같이 중첩됩니다. 위 두 예시로 부터 중첩규칙을 쉽게 발견할 수 있습니다. 2021. 6. 8. [유한요소법] 6. 강성행렬 감잡기 (3) 선형 스프링 3개 직렬 우리는 지금까지 스프링 1개의 강성행렬, 스프링 2개가 직렬 연결된 강성행렬을 구했습니다. 스프링을 하나만 더 늘려봅시다. 이번에는 직접 전부 유도하지 않고, 지난시간까지 알게된 원리를 바로 적용할 것입니다. 아래와 같이 스프링 세개가 직렬 연결 되어 있고, 양 쪽에 T라는 힘이 작용하고 있습니다. 각 노드에서의 변위를 $u_{1},u_{2},u_{3}$ 라고 놓겠습니다. 각 요소의 힘-변위 방정식 구하기 스프링 1에서의 힘-변위 방정식은은 아래와 같습니다. 하중에서 위 첨자는 스프링번호, 아래첨자는 노드번호입니다. $\begin{bmatrix} f^{(1)}_{1}\\ f^{(1)}_{2} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} k_{1} &-k_{1} \\ -k_{1} &k_{1} .. 2021. 6. 8. [유한요소법] 6. 강성행렬 감잡기 (2) 선형 스프링 2개 직렬 지난시간에는 선형 스프링 하나에 힘 T가 가해진 경우의 강성행렬을 구했습니다. 오늘은 스프링을 하나 추가해서, 스프링 두개가 직렬로 연결된 경우의 강성행렬을 구해봅시다. 스프링 1에서의 힘-변위 방정식 스프링 1의 자유물체도는 아래와 같습니다. 스프링1의 늘어난 길이를 $\delta_{1}$ 이라고 한다면 아래 등식이 성립합니다. $T=k_{1}\delta_{1}$ 노드1의 변위를 $u_{1}$, 노드2의 변위를 $u_{2}$로 놓으면 위 식을 아래와 같이 변형할 수 있습니다. $T=k_{1}(u_{2}-u_{1})$ 노드 1에 가해지는 하중을 $f^{(1)}_{1}$ 이라고 놓겠습니다. 위 첨자는 스프링번호이고 아래첨자는 노드번호입니다. 노드2에 가해지는 하중은 $f^{(1)}_{2}$ 입니다. 이때 .. 2021. 6. 4. [유한요소법] 5. 강성법 감잡기 (2) 선형 스프링 1개 스프링을 이용해서 강성행렬에 대한 감을 잡아봅시다. 아래와 같은 스프링이 있다고 합시다. 이 스프링을 T의 힘으로 양쪽으로 잡아당기겠습니다. 이때 늘어난 길이를 $\delta$라고 놓는다면 아래 등식이 성립합니다. $$T=k\delta$$ node 관점 이번에는 위 상황을 node 관점으로 생각해봅시다. 왼쪽 끝 점을 node1, 오른쪽 끝 점을 node 2라고 놓겠습니다. 각 node에 가해지는 힘을 $f_{1}$, $f_{2}$ 라고 놓겠습니다. 각 node에서 발생하는 변위는 $u_{1}$, $u_{2}$ 라고 놓겠습니다. 이때 오른쪽 방향을 (+)라고 놓겠습니다. 이때 늘어난 길이와 node 변위에 대해 아래 관계식이 성립합니다. $\delta=u_{2}-u_{1}$ 스프링에 가해진 힘과, nod.. 2021. 6. 4. [유한요소법] 5. 강성법 (1) 강성행렬 강성행렬은 노드에서의 변위와 힘을 연결해주는 행렬입니다. 개별 요소 노드의 변위와 힘을 연결하는 행렬은 소문자 k로 나타냅니다. $\left [ k \right ]=\begin{bmatrix} k_{11} & k_{12} & \cdots & k_{1n} \\ k_{21} & k_{22} & \cdots & k_{2n} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ k_{n1} & k_{n2} & \vdots & k_{nn} \\ \end{bmatrix}$ 강성행렬을 이용하여 힘과 변위를 연결한 수식은 아래와 같습니다. $\left \{ f \right \}=[k] \left \{ d \right \}$ 간단한 형태를 이용하여 이해해봅시다. 2차원 상에 두개의 노드를 가진 엘리먼트.. 2021. 6. 3. [유한요소법] 4. 힘, 변위,강성의 행렬표현 (열행렬, 정방행렬) 열행렬 기호 유한요소법에서는 물체를 작은 조각으로 나누고, 각 조각의 꼭지점을 node라고 부릅니다. 우리는 전체 힘을 각 노드에서 작용하는 힘으로 나누고, 각 노드의 변위를 계산할 것입니다. 각 노드에 작용하는 힘은 아래와 같이 표현됩니다. $\left \{ F \right \}= \begin{bmatrix} F_{1x}\\ F_{1y}\\ F_{1z}\\ F_{2x}\\ F_{2y}\\ F_{2z}\\ \vdots \\ F_{nx}\\ F_{ny}\\ F_{nz} \end{bmatrix}$ 예를들어 $F_{1x}$ 는 노드 1에 작용하는 x방향 힘입니다. 각 노드의 변위는 아래와 같이 나타냅니다 . $\left \{ d \right \}= \begin{bmatrix} u_{1}\\ v_{1}\\ w_.. 2021. 6. 3. [유한요소법] 3. 요소강성행렬을 정의하는 세가지 방법 지난시간에 살펴본 구조해석의 절차는 아래와 같습니다. ㅁㄴㅇㄹ 요소강성행렬을 정의하는데는 아래 세가지 방법이 사용됩니다. 1) 직접법 (direct method) : 평형방정식을 직접 세움 2) 변분법 (variational method) : 가상일 원리와 부분 에너지멈을 이용한 방법 3) 가중잔차법 (weighted residual method) 각각의 방법을 간단히만 알아봅시다. 직접법 - 가장 직관적인 방법으로 유한요소의 기초를 이해하는데 좋음 - 적용에 한계를 가짐. 스프링, 단축 바, 트러스, 빔 등의 1차원 구조에만 적용할 수 있음. - 힘을 미지수로 두느냐, 변위를 미지수로 두느냐에 따라 두가지 방법으로 나뉨. (하중법 vs 변위법) - 하중법 : 하중이 미지수이고, 평형방정식의 계수는 fl.. 2021. 6. 3. [유한요소법] 2. 구조해석 절차 구조해석의 일반적인 절차를 알아봅시다. 책 로건의 유한요소법 첫걸음을 참고하였습니다. 구조해석은 힘을 받은 구조물 내의 응력과 변형률을 구하는 것입니다. 1단계. 요소(element) 선정 - 요소의 종류 설정 (차원, 선형/비선형 등) 2단계. 변위함수 선정 - 변위함수 선정 (선형, 2차, 3차 다항식, 삼각함수 급수 형태 등) - 1차원 스프링, 봉요소에서는 생략 가능 3단계. 변형률-변위, 응력-변형률 관계 정의 - 1차원 변형률-변위 관계 예시는 아래와 같음. $\varepsilon_{x}=\frac{du}{dx}$ - 응력-변형률 관계 예시는 아래와 같음 $\sigma_{x}=E\varepsilon_{x}$ 4단계. 요소 강성행렬 방정식 유도 - 아래 세 방법 중 선택 1) 직접 평형법 : 1.. 2021. 6. 3. [유한요소법] 1. 유한요소법이 뭔가요? 유한요소법이 뭔가요? 유한요소법은 공학이나 물리학의 문제들의 '수치적인 해'를 구하는 방법입니다. 대표적인 분야는 아래와 같습니다. - 구조해석 - 열전달 - 유동해석 - 질량이송(mass transport) - 전자기 포텐셜 수치적인 해(numerical solution)라는게 뭔가요? 수치적인 해라는 것은 '해석적인 해(analytical solution)'의 반대말입니다. 해석적인 해를 먼저 설명하겠습니다. 해석적인 해는 물체의 모든 위치에서 우리가 궁금한 값을 수식으로 도출하는 것을 말합니다. 공학적인 문제들은 보통 상미분이나 편미분방정식으로 표현되는데, 이 방정식의 해를 말합니다. 하지만 구조물의 형상, 하중, 물성이 복잡해질 경우 위와 같은 해석적인 해를 구하기 어렵습니다. 따라서 여러 방법을.. 2021. 6. 3. 이전 1 다음 반응형
