[탄성학] 응력 평형 방정식 유도

아래 그림을 봅시다. 

 

 

편미분 식이 나와 있는데, 응력을 좌표에 대한 함수라고 생각하면 됩니다. 예를 들어 $\sigma$는 $\sigma(x,y)$인 것입니다. 사실 이 그림은 어이없는 그림입니다. 응력은 점에 작용하는 것인데 면을 가정하였습니다. 그리고 각 면에 작용하는 응력은 균일하다 라는 가정을 합니다. 왼쪽 면을 생각해보면 아래꼭지점에서 위 꼭지점으로 갈 때 응력이 변하지 않는다는 가정입니다. 하지만 왼쪽 면과 오른쪽 면은 응력 차이가 있다고 가정합니다. 저는 이 가정이 좀 억지라고 생각하는데, 이렇게 유도된 공식이 잘 사용되고 있는걸 보면 결과적으로 틀린건 아닌가 봅니다. 

 

엘리먼트의 중점을 잡고 억지 가정 없이 유도해 볼 수도 있을 것 같긴 한데, 일단 기존 방식대로 유도해봅시다. 

 

물체가 평형 상태에 있다고 가정하겠습니다. 먼저 x방향의 평형식을 써보면 아래와 같습니다. 

$\sum F_{x}=\left ( \sigma_{x}+\frac{\partial \sigma_{x}}{\partial x}dx-\sigma_{x} \right )dy+\left ( \tau_{yx}+\frac{\partial \tau_{yx}}{\partial y}dy-\tau_{yx} \right )dx+F_{x}dxdy=0$

 

식을 정리하면 아래와 같습니다. 

 

$\sum F_{x}=\left ( \frac{\partial \sigma_{x}}{\partial x}dx \right )dy+\left ( \frac{\partial \tau_{yx}}{\partial y}dy \right )dx+F_{x}dxdy=0$

 

dydx 로 양 변을 나눠주면 아래 식이 유도됩니다. 

 

$\frac{\partial \sigma_{x}}{\partial x}+\frac{\partial \tau_{yx}}{\partial y}+F_{x}=0$

 

이번에는 y방향 평형식을 세워봅시다. y방향의 평형식은 아래와 같습니다. 

 

$\sum F_{y}=\left ( \sigma_{y}+\frac{\partial \sigma_{y}}{\partial y}dy-\sigma_{y} \right )dx+\left ( \tau_{xy}+\frac{\partial \tau_{xy}}{\partial x}dx-\tau_{xy} \right )dy+F_{y}dxdy=0$

 

식을 정리하면 아래와 같습니다. 

 

$\sum F_{y}=\left ( \frac{\partial \sigma_{y}}{\partial y}dy \right )dx+\left ( \frac{\partial \tau_{xy}}{\partial x}dx \right )dy+F_{y}dxdy=0$

 

dydx 로 양 변을 나눠주면 아래 식이 유도됩니다. 

 

$\frac{\partial \sigma_{y}}{\partial y}+\frac{\partial \tau_{xy}}{\partial x}+F_{y}=0$

 

두개의 응력 평형 방정식이 유도되었습니다. 아래와 같습니다. 

 

$\frac{\partial \sigma_{x}}{\partial x}+\frac{\partial \tau_{yx}}{\partial y}+F_{x}=0$

$\frac{\partial \sigma_{y}}{\partial y}+\frac{\partial \tau_{xy}}{\partial x}+F_{y}=0$

 

3차원으로 확장해봅시다. 정육면체에서 유도하면 되는데요. 유도방법은 동일합니다. 힘의 평형방정식을 x,y,z 세 방향에 적용하면 됩니다. 과정은 생략하겠습니다. 결과는 아래와 같습니다. 

 

$\frac{\partial \sigma_{x}}{\partial x}+\frac{\partial \tau_{xy}}{\partial y}+\frac{\partial \tau_{xz}}{\partial z}+F_{x}=0$

 

$\frac{\partial \sigma_{y}}{\partial y}+\frac{\partial \tau_{yx}}{\partial y}+\frac{\partial \tau_{yz}}{\partial z}+F_{y}=0$

 

$\frac{\partial \sigma_{z}}{\partial z}+\frac{\partial \tau_{zx}}{\partial y}+\frac{\partial \tau_{zy}}{\partial z}+F_{z}=0$