[재료역학] 직사각형의 단면 2차 모멘트 구하는 방법

아래 직사각형의 단면2차 모멘트를 구해봅시다. 

 

 

단면 2차 모멘트는 아래와 같이 정의됩니다. x축에 대한 단면 2차 모멘트입니다. 

 

$I_{x}=\int_{A}^{}y^{2}dA$

 

아래와 같이 변형합니다. 

 

$I_{x}=\int_{-\frac{a}{2}}^{\frac{a}{2}}\int_{-\frac{b}{2}}^{\frac{b}{2}}y^{2}dydx$

 

아래와 같이 분리합니다. 

 

$I_{x}=\left ( \int_{-\frac{b}{2}}^{\frac{b}{2}}y^{2}dy \right )\left ( \int_{-\frac{a}{2}}^{\frac{a}{2}}1dx \right )$

 

적분을 계산합니다. 

 

$I_{x}=\left [ \frac{y^{3}}{3} \right ]^{\frac{b}{2}}_{-\frac{b}{2}}\left [ x \right ]^{\frac{a}{2}}_{-\frac{a}{2}}$

 

계산합니다. 

 

$I_{x}=\frac{2b^{3}}{24}\cdot a$

 

아래와 같이 계산해줍니다. 

 

$I_{x}=\frac{ab^{3}}{12}$