[재료역학] 변형에너지와 변형률 에너지 밀도

변형에너지

축하중을 받는 부재를 이용해서 변형 에너지와 변형률 에너지 밀도를 이해해봅시다. 아래와 같이 축하중을 받는 부재가 있습니다. 

 

 

변형에너지를 먼저 정의해봅시다. 

 

어떤 물체에 힘이 가해지고, 물체가 움직이면 힘은 '일'을 하게 됩니다. 힘이 물체에 가해지고 변형일 일어날 때도 힘은 일을 합니다. 물체에 가해진 일은 '에너지'형태로 저장됩니다. 물체에 힘이 가해져서 변형이 발생할 때 저장되는 에너지가 변형에너지입니다.

 

위 예시에서 변형에너지는 아래와 같이 정의됩니다. 

 

$U=\int_{0}^{x}P(x)dx$

 

아래 면적의 넓이입니다. 

 

 

힘이 변위에 비례하는 탄성체를 가정합시다. P=kx 가 성립하고 위 식은 아래와 같이 변형됩니다. 

 

$U=\int_{0}^{x}kxdx$

 

적분을 계산하면 아래와 같습니다. 아래 식이 변형에너지입니다. 

 

$U=\int_{0}^{x}kxdx=\frac{1}{2}kx^2$.   (1)

 

변형에너지 밀도

응력과 변형률을 이용하여 위 식을 변형해봅시다. 아래 두 식을 이용할 것입니다. 

 

$x=L\varepsilon$

$P=kx=A\sigma$

 

1번 식에 대입합니다. 

 

$U=\frac{1}{2}kx^2=\frac{1}{2}kxx=\frac{1}{2}A\sigma L\varepsilon$

 

AL 은 부피이므로 V로 치환합니다.

 

$U=\frac{1}{2}V\sigma \varepsilon$

 

양변을 부피로 나눠줍니다. 

 

$\frac{U}{V}=\frac{1}{2}\sigma \varepsilon$

 

위 식은 단위 부피당 에너지입니다. 위 식을 변형률 에너지 밀도라고 부릅니다. 단위 부피당의 물리량이라서 밀도라는 이름이 붙었습니다.