[재료역학] 평면응력 (1) 응력의 변환방정식 유도

평면응력상태는 아래와 같습니다. 2차원에서의 응력입니다. 

 

 

x,y 방향이 아닌 임의 방향에서 응력상태를 유도하고 싶은 상황입니다. 아래와 같은 삼각형 응력요소에서 유도하겠습니다. 위 요소를 잘랐다고 표현할 수도 있고, 처음부터 삼각요소를 잡았다고 생각할 수도 있습니다. 응력은 면이 있는 작은 요소에서 구한 극한값입니다. 

 

 

면적을 곱해서 힘으로 표현해줍시다. 

 

 

힘의 평형방정식을 적용할 것입니다. x' 방향과 y' 방향으로 적용할 것인데요. 각 힘들을 x',y' 방향으로 분해하면 아래와 같습니다. 

 

 

아래는 x' 방향 평형방정식입니다. 

 

$\sigma_{x'}\Delta A - \sigma_{x} \Delta A \cos^{2} \theta - \tau_{xy}\Delta \sin \theta \cos\theta
-\sigma_{y}\Delta A \sin^{2}\theta  -\tau_{xy}\Delta A \sin\theta\cos\theta$

 

$\sigma_{x'}$에 대해 정리하면 아래와 같습니다. 

 

$\sigma_{x'}=\sigma_{x}\cos^{2}\theta+\sigma_{y}\sin^{2}\theta+\tau_{xy}(2\sin\theta\cos\theta)$

 

아래는 y' 방향 평형방정식입니다. 

 

$\tau_{x'y'}\Delta A +\sigma_{x}\Delta A \cos\theta\sin\theta-\tau_{xy}\Delta A \cos^{2}\theta
-\sigma_{y}\Delta A \sin\theta\cos\theta+\tau_{xy}\Delta A \sin^{2}\theta$

 

$\tau_{x'y'}$에 대해 정리하면 아래와 같습니다. 

 

$\tau_{x'y'}=\left ( \sigma_{y}-\sigma_{x} \right )\sin\theta\cos\theta+\tau_{xy}\left (\cos^{2}\theta-\sin^{2}\theta \right )$

 

삼각함수의 배각공식과 반각공식을 적용하여 위 수식들을 변형합시다. 배각공식과 반각공식은 아래와 같습니다. 

 

$\sin 2\theta=2\sin\theta\cos\theta$

$\sin^{2}\theta=\frac{1-\cos 2\theta}{2}$

$\cos^{2}\theta=\frac{1-\cos 2\theta}{2}$

 

$\sigma_{x'}$ 와 $\tau_{x'y'}$ 수식에 적용하면 아래와 같이 변형됩니다. 

 

$\sigma_{x'}=\frac{\sigma_{x}+\sigma_{y}}{2}+\frac{\sigma_{x}-\sigma_{y}}{2}\cos 2\theta+\tau_{xy}\sin 2\theta$

 

$\tau_{x'y'}=-\frac{\sigma_{x}-\sigma_{y}}{2}\sin 2\theta+\tau\cos 2\theta$

 

$\sigma_{y'}$ 는 $\theta$에  $\theta+90^{\circ }$를 넣으면 쉽게 유도됩니다. 

 

$\sigma_{y'}=\frac{\sigma_{x}+\sigma_{y}}{2}-\frac{\sigma_{x}-\sigma_{y}}{2}\cos 2\theta-\tau_{xy}\sin 2\theta$

 

응력의 변환방정식이 유도되었습니다. 

 

한 점이 여러 응력상태를 갖는다는 것을 직관적으로 이해하기는 어렵습니다. 어느 정도 받아들여야 하는 개념입니다. 한 점을 확대한다고 면이 되지 않습니다. 한 점에서 잘린 각도가 정의 된다는 것도 이상합니다. 극한값이라 가능한 개념이고, 우리의 직관을 넘어섭니다.

 

아무튼 결론은 이렇습니다. 2차원에서 힘을 받는 물체의 한 점은 네개의 수직응력과 네개의 전단응력을 갖습니다. 독립적인 값은 두개의 수직응력과 한개의 전단응력입니다. 이 값들은 점을 확대한 사각형의 각도에 따라 달라집니다. 

 

<평면 응력의 변환방정식>

 

$\sigma_{x'}=\frac{\sigma_{x}+\sigma_{y}}{2}+\frac{\sigma_{x}-\sigma_{y}}{2}\cos 2\theta+\tau_{xy}\sin 2\theta$

 

$\sigma_{y'}=\frac{\sigma_{x}+\sigma_{y}}{2}-\frac{\sigma_{x}-\sigma_{y}}{2}\cos 2\theta-\tau_{xy}\sin 2\theta$

 

$\tau_{x'y'}=-\frac{\sigma_{x}-\sigma_{y}}{2}\sin 2\theta+\tau_{xy} \cos 2\theta$