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기계공학 기타과목/탄성학11

[탄성학] Airy 응력함수 (Airy stress function) 1. 배경 탄성학에서 고체의 변형 문제를 풀기 위해서는 15개의 연립미분방정식을 풀어야 합니다. 15개의 방정식은 평형방정식 3개, 변형률-변위 관계식 6개, 응력-변형률 관계식 6개입니다. 미지의 변수는 응력 요소 6개, 변형률 6개, 변위 3개로 방정식의 수와 같습니다. 하지만 실제로 이 연립방정식을 푸는 것은 불가능합니다. 학자들은 문제를 단순화하기 위해 몇가지 가정을 추가하여 탄성론의 하위 카테고리들을 만들었습니다. 그 카테고리 중에 평면응력과 평면변형률도 있습니다. 평면응력과 평면변형률 가정을 하면 15개의 방정식은 아래와 같이 하나의 방정식으로 축약됩니다. $\left ( \frac{\partial^2}{\partial x^2}+\frac{\partial^2}{\partial y^2} \rig.. 2024. 4. 18.

[탄성학] 평면응력문제와 평면변형률 문제의 적합방정식 평형방정식 3개, 변형률-변위 관계식 6개, 응력-변형률 관계식 6새로 총 15개의 방정식을 아래 방정식 하나로 축약할 수 있습니다. 축약 과정은 생략합니다.

$\left ( \frac{\partial^2}{\partial x^2}+\frac{\partial^2}{\partial y^2} \right )\left ( \sigma_{x}+\sigma_{y} \right )=-\left ( 1+\nu \right )\left ( \frac{\partial f_{x}}{\partial x}+\frac{\partial f_{y}}{\partial y} \right )$ $\left ( \frac{\partial^2}{\partial x^2}+\frac{\partial^2}{\partial y^2} \right .. 2024. 4. 14.

[탄성학] 평면응력(plane stress)이란 무엇인가 평면 응력은 물체가 너무 얇아서 z 방향 응력이 무시할 수 있을 만큼 작은 상태를 말합니다. z방향 응력이 모두 0이 됩니다.

$\sigma_{z}=0$

$\tau_{zx}=0$

$\tau_{zy}=0$ 따라서 응력은 아래와 같이 평면에 작용하는 응력 셋만 남습니다.

$\sigma_{x}=0$

$\sigma_{y}=0$

$\tau_{xy}=0$ 응력 변형률 관계 먼저 살펴봅시다 . 1) 응력-변형률 관계

$\varepsilon _{x}=\frac{1}{E}\left [ \sigma_{x}-\nu (\sigma_{y}+\sigma_{z}) \right ]$ $\varepsilon _{y}=\frac{1}{E}\left [ \sigma_{y}-\nu (\sigma_{x}+\sigma_{z}) \right ].. 2024. 4. 14.

[탄성학] 평면변형률(plane strain) 이란? z축 방향으로 무한히 긴 실린더가 있다고 합시다. 단면은 xy 평면입니다. 이 실린더 중간쯤에 어떤 점이 있다고 합시다. (x,y,z)라는 점입니다. 이 점의 변위를

$u(x,y,z)$ ,

$v(x,y,z)$ ,

$w(x,y,z)$ 라고 합시다. z축 방향으로 무한히 길기 때문에 z축 방향의 변위가 없다고 가정할 수 있습니다. 따라서

$w(x,y,z)=0$ 이라고 가정할 수 있습니다. 또한 z 축 방향으로의

$u$ ,

$v$ 변화가 없다고 가정할 수 있습니다. -

$w(x,y,z)=0$ -

$u(x,y,z)$ ,

$v(x,y,z)$ 는 z축에 독립 1) 변위-변형률 관계 응력 변형률 관계에 위 가정을 대입해봅시다. 3차원에서의 응력 변형률 관계는 아래와 같습니다. $\varepsilon_{x}=\frac{\part.. 2024. 4. 8.

[탄성학] 왜 수직변형률은 편미분으로 정의될까? 면저 1차원 물체부터 시작해봅시다. 아래와 같이 길이가 L선이 있습니다. 이 선이 힘을 받고 있습니다. 선은 변형이 될텐데, 선 위 각 지점에서의 변형을 u(x) 라고 정의하겠습니다. u(x)를 변형함수라고 부릅니다. 이 선 위에 한 점

$x_{1}$ 부터

$x_{1}+\Delta x_{1}$ 사이의 평균변화율은 아래와 같이 정의됩니다.

$\frac{u(x_{1}+\Delta x)-u(x)}{\Delta x}$

$x_{1}$ 에서의 변화율은 아래와 같이 정의됩니다. $\varepsilon_{x}(x_{1})=\lim_{\Delta x \rightarrow 0}\frac{u(x_{1}+\Delta x)-u(x)}{\Delta x}= \left.\begin{matrix} \frac{du(x)}{dx} \en.. 2024. 4. 7.

[탄성학] 응력 평형 방정식 유도 아래 그림을 봅시다. 편미분 식이 나와 있는데, 응력을 좌표에 대한 함수라고 생각하면 됩니다. 예를 들어

$\sigma$ 는

$\sigma(x,y)$ 인 것입니다. 사실 이 그림은 어이없는 그림입니다. 응력은 점에 작용하는 것인데 면을 가정하였습니다. 그리고 각 면에 작용하는 응력은 균일하다 라는 가정을 합니다. 왼쪽 면을 생각해보면 아래꼭지점에서 위 꼭지점으로 갈 때 응력이 변하지 않는다는 가정입니다. 하지만 왼쪽 면과 오른쪽 면은 응력 차이가 있다고 가정합니다. 저는 이 가정이 좀 억지라고 생각하는데, 이렇게 유도된 공식이 잘 사용되고 있는걸 보면 결과적으로 틀린건 아닌가 봅니다. 엘리먼트의 중점을 잡고 억지 가정 없이 유도해 볼 수도 있을 것 같긴 한데, 일단 기존 방식대로 유도해봅시다. 물체가 평형 .. 2024. 4. 4.

[탄성학] 사면체에서의 응력 요소 아래와 같은 사면체가 있다고 합시다. 면 ABC 의 법선벡터는

$\vec{n}$ 입니다. 면 ABC 에서의 응력 요소를

$p_{x}$ ,

$p_{y}$ ,

$p_{z}$ 라고 합시다. p는 합응력입니다. 응력벡터를 법선벡터 n의 방향 코사인을 l,m,n 이라고 놓겠습니다. 각각 x,y,z 축과의 방향코사인입니다.

$l^2+m^2+n^2=1$ 이 성립합니다. 이때 아래 등식이 유도됩니다.

$\begin{align*} p_{x}&=\sigma_{x}l+\tau_{xy}m+\tau_{xz}n \\ p_{y}&=\tau_{xy}l+\sigma_{y}m+\tau_{yz}n \\ p_{z}&=\tau_{xz}l+\tau_{yz}m+\sigma_{z}n \end{align*}$ 행렬형태 식으로 나타내면 아래와 같습니다. $\b.. 2024. 3. 20.

[탄성학] 3차원에서 주응력 및 방향코사인 구하는 방법 주응력 구하는 방법 3차원에서 주응력을 구하는 수식은 아래와 같습니다.

$\sigma_{p}$ 가 주응력입니다.

$\sigma_{p}^3-I_{1}\sigma_{p}^2+I_{2}\sigma_{p}-I_{3}=0$ 위 3차방정식의 해를 구하면 됩니다. I들은 아래와 같습니다.

$I_{1}=\sigma_{x}+\sigma_{y}+\sigma_{z}$

$l_{2}=\sigma_{x}\sigma_{y}+\sigma_{x}\sigma_{z}+\sigma_{y}\sigma_{z}-\tau_{xy}^2-\tau_{yz}^2-\tau_{xz}^2$ $I_{3}=\begin{vmatrix} \sigma_{x} & \tau_{xy} & \tau_{xz} \\ \tau_{xy} & \sigma_{y} & \tau_{yz} .. 2024. 3. 20.

[탄성학] 3차원 응력변환 (x,y,z) 좌표계에서의 응력요소를 (x',y',z')좌표계에서의 응력요소로 바꾸는 방법에 대해 알아봅시다. 유도과정은 생략하고 결과만 알아볼 것입니다. 두 좌표계 간의 방향코사인은 아래와 같습니다. x y z x'

$l_{1}$

$m_{1}$

$n_{1}$ y'

$l_{2}$

$m_{2}$

$n_{2}$ z'

$l_{3}$

$m_{3}$

$n_{3}$ 변환 공식은 아래와 같습니다.

$\sigma_{x'}=\sigma_{x}l^2_{1} +\sigma_{y}m^2_{1} +\sigma_{z}n^2_{1} +2( \tau_{xy} l_{1}m_{1} + \tau_{yz} m_{1}n_{1} + \tau_{xz} l_{1}n_{1})$ $\sigma_{y'}=\sigma_{x}l^2_{2} +\sigma_.. 2024. 3. 20.

변형률 에너지란 무엇인가? (변형률에너지의 미분은?) 아래와 같은 응력-변형률 선도가 있다고 합시다. 이때 변형률 에너지는 아래와 같이 정의됩니다.

$W(\varepsilon)=\int_{0}^{\varepsilon}\sigma(\varepsilon)d\varepsilon$ 변형률 에너지를 변형률로 미분하면 어떻게 되는지 알아봅시다. 우변

$\sigma$ 의 한 부정적분을 S 라고 놓겠습니다. 위 식은 아래와 같이 변형됩니다.

$W(\varepsilon)=S(\varepsilon)-S(0)$ 양변을 변형률로 미분하면 아래와 같습니다.

$\frac{d W(\varepsilon)}{d \varepsilon}=\sigma(\varepsilon)$ 변형률 에너지를 미분하면 응력이 나옵니다. 2023. 10. 18.

탄성학 기본구성 방정식 (응력평형방정식,변형률-변위 관계식, 응력-변형률 관계식) 1) 응력 평형 방정식

$\frac{\partial \sigma_{xx}}{\partial x}+ \frac{\partial \sigma_{yx}}{\partial y}+ \frac{\partial \sigma_{zx}}{\partial z}+ f_{x}=0$

$\frac{\partial \sigma_{xy}}{\partial x}+ \frac{\partial \sigma_{yy}}{\partial y}+ \frac{\partial \sigma_{zy}}{\partial z}+ f_{y}=0$ $\frac{\partial \sigma_{xz}}{\partial x}+ \frac{\partial \sigma_{yz}}{\partial y}+ \frac{\partial \sigma_{zz}}{\partial.. 2023. 10. 16.

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