관성모멘트 유도하기 (관성모멘트 등장배경)

관성모멘트는 회전하는 강체의 운동에너지를 구할 때 등장합니다. 어떤 축을 중심으로 회전하는 강체가 있다고 합시다. 강체의 각속도를 $\omega$라고 놓겠습니다. 강체가 여러개의 입자로 구성되어 있다고 가정하고, i번째 입자의 운동에너지를 구해보겠습니다. 

i번째 입자의 속도를 먼저 구해봅시다. 회전축으로 부터 i번째 입자까지의 거리를 $r_{i}$라고 놓겠습니다. 이때 i번째 입자의 속도는 아래와 같습니다. 

$v_{i}=r_{i}\omega$

강체의 운동에너지는 모든 입자의 운동에너지의 합과 같습니다. 강체의 운동에너지를 $E_{K}$라고 놓으면 아래와 같이 계산됩니다. 

$E_{K}=\sum_{i=1}^{N}\frac{1}{2}m_{i}v_{i}^2$

위에서 유도한 입자의 속도와 각속도의 관계식을 대입하면 아래와 같이 변형됩니다. 

$E_{K}=\sum_{i=1}^{N}\frac{1}{2}m_{i}r_{i}^2\omega^2$

물체를 무한히 많은 입자로 나누면 아래와 같은 적분형태로 표현할 수 있습니다. 

$E_{K}=\frac{1}{2} \left ( \int r^2dm  \right ) \omega^2$

위에서 괄호 안의 부분은 직선운동의 운동에너지 수식에서 질량에 해당되는 부분입니다. 이 부분을 관성모멘트라고 부릅니다. 회전운동에서의 질량과 같은 역할을 합니다. 기호로는 I로 놓습니다. 

 

$I= \int r^2dm$