[손으로 푸는 재료역학] 2. 응력이란 무엇인가 (2) 3차원

지난 글에서 2차원 응력을 배웠습니다. 2차원에 있는 물체 내부의 한 점에서의 응력은 아래와 같습니다. 

 

 

한 점에 네가지 응력이 작용했습니다. 오늘은 차원을 하나 높여서 3차원 물체에서의 응력을 알아봅시다. 

 

3차원에 놓인 물체에 하중이 가해지고 있다고 합시다. 

 

 

물체 내부의 작은 육면체 모양의 영역을 하나 잡아봅시다.

 

 

육면체의 각 면에는 힘이 작용하고 있을 것입니다. 더 정확히는 각 면 위의 위치마다 힘이 다르게 작용하고 있을 것이지만, 각 면에 작용하는 평균힘을 생각합시다. 먼저 윗변에 작용하는 힘을 알아봅시다. 힘은 기울어진 임의 방향으로 작용하고 있을 것입니다. 지난 글에서 다룬 내용과 비슷하므로 힘 분해를 바로 하겠습니다. 윗면에 작용하는 힘은 아래와 같이 세 방향으로 분해됩니다. 

 

 

나머지 면에도 힘이 가해지고 있을 것입니다. 지난 글과 마찬가지로 힘을 각 면의 면적으로 나누고 면적을 0으로 보냅시다. 각 값이 수렴하는데, 수렴값이 응력입니다. 응력은 아래와 같습니다. 

 

 

작용하는 응력은 아래와 같이 9가지입니다. 한 면에 3개씩 6면이므로 18개의 응력인데, 맞은편은 대칭이므로 종류는 9가지 입니다. 

 

$\sigma_{x},\sigma_{y},\sigma_{z},\tau_{xy},\tau_{yx},\tau_{xz},\tau_{zx},\tau_{yz},\tau_{zy}$

 

3차원에서는 한 점에 9가지 응력이 작용합니다.