모멘트(돌림힘)수식 M=Iα 는 어떻게 발견된걸까

물체에 힘을 가하면 가속도가 발생합니다. 힘과 가속도 사이의 비례상수가 질량 m입니다. 

이번에는 물체에 회전하는 힘을 가하는 상황을 가정해봅시다. 아래와 같은 그림입니다. 

 

물체는 변형이 없는 강체라고 가정합시다. 물체가 여러개의 입자로 구성되어 있다고 가정하고, i번째 입자에 가해지는 모멘트를 표현해봅시다. i번째 입자에 가해지는 힘을 $f_{i}$, 회전 중심으로 부터 i번째 입자까지의 거리를 $r_{i}$라고 놓겠습니다. 물체의 가속도를 a라고 놓으면, i번째 입자의 가속도도 a입니다. 따라서 i번째 입자에 가해지는 모멘트는 아래와 같습니다. 

 

$M_{i}=r_{i} f_{i}$

 

$f_{i}=m_{i}a$이므로 위 식은 아래와 같이 변형됩니다. 

 

$M_{i}=r_{i} m_{i}a $

 

$a=r_{i}\alpha$ 이므로 위 식은 아래와 같이 변형됩니다. 

 

$M_{i}=r_{i} m_{i} r_{i}\alpha  $

 

아래와 같이 정리해줍니다.

 

$M_{i}=r_{i}^2 m_{i} \alpha $

 

물체를 무한히 많은 입자로 나누면 아래와 같은 적분형태로 표현할 수 있습니다. 

 

$M=\left ( \int r^2 dm \right ) \alpha $

 

위에서 괄호 안의 부분은 직선운동의 운동에너지 수식에서 질량에 해당되는 부분입니다. 이 부분을 관성모멘트라고 부릅니다. 회전운동에서의 질량과 같은 역할을 합니다. 기호로는 I로 놓습니다. 

 

$I= \int r^2dm  $