[재료역학] 응력-변형률 관계식 (일반화 훅의 법칙)

힘을 받는 물체 내부의 한 점에서 x,y,z 모든 방향의 응력이 작용한다고 합시다. 이 때 각 방향의 변형률은 모든 응력의 영향을 받습니다. 

예를들어 x방향 변형률은 x방향 응력에 의해 늘어나지만, y와 z방향 응력에 의해서는 줄어듭니다. 중첩의 법칙을 적용하면 x방향 변형률은 아래와 같이 계산됩니다. 

$\varepsilon _{x}=\frac{\sigma_{x}}{E}-\nu \frac{\sigma_{y}}{E}-\nu \frac{\sigma_{z}}{E}$

y방향과 z방향 변형률도 같은 방법으로 계산됩니다. 

$\varepsilon _{y}=\frac{\sigma_{y}}{E}-\nu \frac{\sigma_{x}}{E}-\nu \frac{\sigma_{z}}{E}$

$\varepsilon _{z}=\frac{\sigma_{z}}{E}-\nu \frac{\sigma_{x}}{E}-\nu \frac{\sigma_{y}}{E}$

괄호로 묶어서 간단히 하면 아래와 같습니다. 

$\varepsilon _{x}=\frac{1}{E}\left [ \sigma_{x}-\nu (\sigma_{y}+\sigma_{z}) \right ]$

$\varepsilon _{y}=\frac{1}{E}\left [ \sigma_{y}-\nu (\sigma_{x}+\sigma_{z}) \right ]$

$\varepsilon _{z}=\frac{1}{E}\left [ \sigma_{z}-\nu (\sigma_{x}+\sigma_{y}) \right ]$