[재료역학] 평면응력 (5) 최대전단응력 예제 1

예제

힘을 받는 어떤 물체 내부의 한 지점에서 응력상태는 아래와 같습니다. 최대전단응력상태를 나타내세요. 

 

 

풀이

최대전단응력과 회전각을 계산하는 수식은 아래와 같습니다. 

 

$\tan 2\theta=-\frac{ \frac{(\sigma_{x}-\sigma_{y})}{2}   }{\tau_{xy}}$

 

$\tau_{max}=-\sqrt{\left ( \frac{\sigma_{x}-\sigma_{y}}{2} \right )^{2}+\tau_{xy}^{2}}$   (at $\theta_{1}$)

 

$\tau_{max}=\sqrt{\left ( \frac{\sigma_{x}-\sigma_{y}}{2} \right )^{2}+\tau_{xy}^{2}}$   (at $\theta_{2}$)

 

 

1) 회전각 계산

$\tan 2\theta=-\frac{\frac{100}{2}}{0}$ 입니다. 아래 그림을 보면 $\tau_{xy}$가 0일 때는 $2 \theta_{1}$이 90도일 때입니다. 

 

 

따라서 $\theta_{1}$ 과 $\theta_{2}$는 아래와 같습니다. 

 

$\theta_{1}=45^{\circ}$

 

$\theta_{2}=135^{\circ}$

 

2) 최대전단응력 계산

최대전단응력을 계산해줍니다. 

 

$\tau_{max}=-\sqrt{\left ( \frac{100-0}{2} \right )^{2}}$  (at $45^{\circ}$)

 

$\tau_{max}=\sqrt{\left ( \frac{100-0}{2} \right )^{2}}$  (at $135^{\circ}$)

 

아래와 같이 계산됩니다. 

 

$\tau_{max}=-50$  (at $\theta_{1}$)

 

$\tau_{max}=50$  (at $\theta_{2}$)

 

45도 회전일 때가 음수이므로 45도에서는 전단응력이 반시계방향으로 작용합니다. 

 

3) 수직응력 계산

최대전단응력 상태에서의 수직응력을 계산해줍니다. 수직응력의 응력변환방정식을 사용합니다. 

 

$\sigma_{x'}=\frac{\sigma_{x}+\sigma_{y}}{2}+\frac{\sigma_{x}-\sigma_{y}}{2}\cos 2\theta+\tau_{xy}\sin 2\theta$

 

아래 각도를 넣어줍니다. 

 

$\theta_{1}=45^{\circ}$

 

$\theta_{2}=135^{\circ}$

 

$\sigma_{x'}=\frac{\sigma_{x}+\sigma_{y}}{2}+\tau_{xy}$  (at $\theta_{1}$)

 

$\sigma_{x'}=\frac{\sigma_{x}+\sigma_{y}}{2}-\tau_{xy}$  (at $\theta_{1}$)

 

$\sigma_{x}$, $\sigma_{y}$, $\tau_{xy}$ 는 각각 100,0,0 입니다. 대입합니다. 

 

$\sigma_{x'}=50$  (at $45^{\circ}$)

 

$\sigma_{x'}=50$  (at $135^{\circ}$)

 

 

4) 응력상태

응력상태는 아래와 같습니다.