도심(centroid) 구하는 공식 유도하기

어떤 물체의 x축과 평행한 중심선이 $\bar{y}$라고 합시다. 

 

이때 이 중심선을 기준으로 모멘트 평형이 이루어져야 합니다. 

 

 

따라서 아래 적분값이 0이어야 합니다 .

 

$\int (y-\bar{y})dA=0$

 

아래와 같이 변형합시다. 

 

$\int ydA-\int\bar{y}dA=0$

 

$\bar{y}$는 상수이므로 아래와 같이 변형할 수 있습니다. 

 

$\int ydA-\bar{y}\int dA=0$

 

$\int dA$ 는 A입니다. 위 식은 아래와 같이 변형됩니다. 

 

$\int ydA-\bar{y}A=0$

 

따라서 도심의 위치는 아래와 같습니다. 

 

$\bar{y}=\frac{\int ydA}{A}$