[동역학] 비스듬히 던진 물체의 운동 분석

어떤 물체를 높이 h에서 초기 속도 $v(0)$ 로 비스듬히 던졌다고 합시다. 던진 방향과 지면이 이루는 각도는 $\theta$ 입니다. 이때 물체의 운동을 분석해봅시다. 변위,속도,가속도를 구할 것입니다. 

 

1. 수직방향 운동분석

수평방향을 y방향으로 놓고 운동을 분석해봅시다. 가속도는 -g입니다. 

$a_{y}(t)=-g$

가속도 함수를 적분하여 속도함수를 구합시다. 수직 방향 초기 속도는 $v(0)\sin\theta$입니다. 

$v_{y}(t)=v(0)\sin\theta-gt$

속도함수를 적분하여 변위함수를 구합니다. 

$s_{y}(t)=s(0)+v(0)\sin\theta-\frac{1}{2}gt^2$

$s(0)$는 h입니다. 

$s_{y}(t)=h+v(0)\sin\theta t-\frac{1}{2}gt^2$

최대 높이와 시간을 구하기 위해 완전제곱식으로 변형합시다. 아래와 같이 묶어줍니다. 

$s_{y}(t)=-\frac{1}{2}g\left ( t^2-\frac{2v(0)\sin\theta}{g}t \right )+h$

완전제곱식으로 만들기 위해 t의 계수의 절반의 제곱을 더하고 빼줍니다. 

$s_{y}(t)=-\frac{1}{2}g\left ( t^2-\frac{2v(0)\sin\theta}{g}t + \frac{v(0)^2\sin^2\theta}{g^2} \right )+\frac{v(0)^2\sin^2\theta}{2g}+h$

완전제곱식으로 바꿔줍니다. 

$s_{y}(t)=-\frac{1}{2}g\left ( t-\frac{v(0)\sin\theta}{g} \right )^2+\frac{v(0)^2\sin^2\theta}{2g}+h$

최대 높이는 $\frac{v(0)^2\sin^2\theta}{2g}+h$ 이고 최대 높이 도달 시간은 $\frac{v(0)\sin\theta}{g}$ 입니다. 

이번에는 물체가 다시 땅에 도달하는 시간을 구해봅시다. 아래 식에서 출발합니다. 

$s_{y}(t)=h+v(0)\sin\theta t-\frac{1}{2}gt^2$

s가 0일 때의 시간을 구하면 됩니다. 

$0=h+v(0)\sin\theta t-\frac{1}{2}gt^2$

근의 공식을 사용하기 좋게 아래와 같이 변형합시다. 

$gt^2-2v(0)\sin\theta t-2h=0$

근의 공식을 사용합니다. 짝수공식을 쓰면 됩니다. 

$t=\frac{v(0)\sin\theta \pm \sqrt{v(0)^2\sin^2\theta+2gh}}{g}$

둘 중 양수인 값입니다. 

$t=\frac{v(0)\sin\theta + \sqrt{v(0)^2\sin^2\theta+2gh}}{g}$

$s_{y}-t$그래프를 그리면 아래와 같습니다. 

2. 수평방향 운동분석

수평방향을 x방향으로 놓고 운동을 분석해봅시다. 가속도는 0이고 속도는 $v_{0}\cos\theta$입니다. 

$a_{x}(t)=0$
$v_{x}(t)=v(0)\cos\theta$

속도함수를 적분하여 변위함수를 구하면 아래와 같습니다. 

$s_{x}(t)=v(0)\cos\theta t$

그래프는 아래와 같습니다.