[동역학] 가속도가 시간의 함수로 주어진 경우 1차원 운동 (위치,속도)

변위가 시간의 함수로 주어져 있는 경우에는 미분을 통해 속도, 가속도를 구할 수 있습니다. 반면 가속도가 시간의 함수로 주어져 있는 경우에는 적분을 통해 속도와 변위를 구할 수 있습니다.

시간에 따른 가속도가 a=f(t)로 주어져 있다고 합시다. 

 

속도

시간 t에서의 속도는 아래와 같이 구합니다. 

$$\begin{align}
\int_{v_{0}}^{v}dv &=\int_{0}^{t}f(t)dt \\
v-v_{0}&=\int_{0}^{t}f(t)dt \\
v&=v_{0}+\int_{0}^{t}f(t)dt
\end{align}$$

 

위치

위해서 구한 속도도 t에 대한 함수입니다. g(t)라고 놓겠습니다. 

 

시간 t에서의 변위는 아래와 같이 구합니다. 

 

$$\begin{align}
\int_{x_{0}}^{x}dx &=\int_{0}^{t}g(t)dt \\
x-x_{0}&=\int_{0}^{t}g(t)dt \\
x&=x_{0}+\int_{0}^{t}g(t)dt
\end{align}$$