[동역학] 직선운동에서 변위,속도,가속도의 적분관계

1. 가속도 함수로 속도함수 구하기

어떤 물체가 직선운동을 하고 있습니다. 가속도 함수를 a(t), 속도 함수를 v(t)라고 놓으면 두 함수의 미분관계는 아래와 같습니다.

$\frac{dv(t)}{dt}=a(t)$

양 변을 t에 대해 적분합시다. 

$\int_{0}^{t} \frac{dv(t)}{dt}dt=\int_{0}^{t} a(t)dt$

좌변은 아래와 같이 계산됩니다. 

$v(t)-v(0)=\int_{0}^{t} a(t)dt$

v(0)를 이항하면 v(t)에 대한 식을 얻습니다. 

$v(t)=v(0)+\int_{0}^{t} a(t)dt$

위 식은 가속도 함수를 알고 있을 때, 속도 함수를 구하는 수식입니다. 

 

2. 속도 함수로 변위 구하기

변위 함수를 $s(t)$로 놓으면 속도함수와 변위함수의 미분관계는 아래와 같습니다.

$\frac{ds(t)}{dt}=v(t)$

양 변을 t에 대해 적분합시다. 

$\int_{0}^{t} \frac{ds(t)}{dt}dt=\int_{0}^{t} v(t)dt$

좌변은 아래와 같이 계산됩니다. 

$s(t)-s(0)=\int_{0}^{t} v(t)dt$

s(0)를 이항하면 s(t)에 대한 식을 얻습니다. 

$s(t)=s(0)+\int_{0}^{t} v(t)dt$

위 식은 속도 함수를 알고 있을 때, 변위함수를 구하는 수식입니다.

 

3. 등가속도 직선운동 공식유도

등가속도 직선운동에 위 적분 관계를 적용해서 몇가지 공식을 유도해봅시다. 등가속도 직선운동에서 가속도 함수는 아래와 같습니다. 

$a(t)=a$

위에서 유도한 적분식을 적용하여 v(t)를 구해봅시다. 

$v(t)=v(0)+\int_{0}^{t} a(t)dt$

$a(t)$ 자리에 a를 대입합니다. 

$v(t)=v(0)+\int_{0}^{t} adt$

적분을 계산해줍니다. 

$v(t)=v(0)+at$

이번에는 속도-변위 적분식을 가져와봅시다. 

$s(t)=s(0)+\int_{0}^{t} v(t)dt$

$v(t)$ 자리에 $v(0)+at$ 를 대입합니다. 

$s(t)=s(0)+\int_{0}^{t} \left ( v(0)+at \right )dt$

적분을 계산합니다.

$s(t)=s(0)+v(0)t+\frac{1}{2}at^2$

유도한 두개의 공식은 아래와 같습니다 .

$v(t)=v(0)+at$
$s(t)=s(0)+v(0)t+\frac{1}{2}at^2$

직선운동이며 가속도가 일정하다고 가정하고 유도한 공식이라는 것을 기억합시다. 

 

4. 시간 변수 없는 변위-속도-가속도 수식 (등가속도)

위에서 유도한 등가속도 직선운동 식 두 개를 가져옵시다. 

$v(t)=v(0)+at$
$s(t)=s(0)+v(0)t+\frac{1}{2}at^2$

첫번째 식을 아래와 같이 변형합니다. 

$v(t)-v(0)=at$

a로 양변을 나눠서 t에 대해 정리해줍니다. 

$t=\frac{v(t)-v(0)}{a}$

위 식을 두번째 식인 아래 식에 대입합니다. 

$s(t)=s(0)+v(0)t+\frac{1}{2}at^2$

대입 결과는 아래와 같습니다. 

$s(t)=s(0)+v(0)\frac{v(t)-v(0)}{a}+\frac{1}{2}a\left ( \frac{v(t)-v(0)}{a} \right )^2$

아래와 같이 전개합니다. 

$s(t)=s(0)+\frac{v(0)v(t)-v(0)^2}{a}+\frac{1}{2}\frac{v(t)^2-2v(t)v(0)+v(0)^2}{a}$

$s(0)$를 이항합니다. 

$s(t)-s(0)=\frac{v(0)v(t)-v(0)^2}{a}+\frac{1}{2}\frac{v(t)^2-2v(t)v(0)+v(0)^2}{a}$

우변을 통분합니다. 

$s(t)-s(0)=\frac{2v(0)v(t)-2v(0)^2+v(t)^2-2v(t)v(0)+v(0)^2}{2a}$

우변을 아래와 같이 계산합니다. 

 

$s(t)-s(0)=\frac{v(t)^2-v(0)^2}{2a}$

 

위 식을 설명하겠습니다. 등가속도 직선운동일 때, 어떤 시점에세 변위,속도,가속도 중 두가지를 알고 있으면 나머지 하나를 구할 수 있는 수식입니다.