[동역학] 수직 방향으로 던진 물체의 운동 분석

어떤 물체를 높이 h에서 수직 방향으로 초기 속도 $v(0)$로 던졌다고 합시다. 이때 물체의 운동을 분석해봅시다. 변위,속도,가속도를 구할 것입니다. 

가속도함수에서 출발합시다. 가속도는 중력가속도만 존재합니다. 지면에 수직 방향을 +로 놓으면 가속도 함수는 아래와 같습니다. 

$a(t)=-g$

가속도 함수를 적분하여 속도함수를 구합시다. 

$v(t)=v(0)-gt$

 

그래프는 아래와 같습니다. 

 

속도함수를 적분하여 변위함수를 구합시다. 

$s(t)=h+v(0)t-\frac{1}{2}gt^2$

최대 높이와 시간을 구하기 위해 완전제곱식으로 변형합시다. 아래와 같이 묶어줍니다. 

$s=-\frac{1}{2}g\left ( t^2-\frac{2v(0)}{g}t \right )+h$

완전제곱식으로 만들기 위해 괄호 안에 $\frac{v(0)^2}{g^2}$를 더하고 빼줍니다.  

$s=-\frac{1}{2}g\left ( t^2-\frac{2v(0)}{g}t+\frac{v(0)^2}{g^2} \right )+\frac{v(0)^2}{2g}+h$

완전제곱식으로 바꿔줍니다. 

$s=-\frac{1}{2}g\left ( t-\frac{v(0)}{g} \right )^2+\frac{v(0)^2}{2g}+h$

최대 높이는 $\frac{v(0)^2}{2g}+h$ 이고 최대 높이 도달 시간은 $\frac{v(0)}{g}$ 입니다. 

이번에는 물체가 다시 땅에 도달하는 시간을 구해봅시다. 아래 식에서 출발합니다. 

$s(t)=h+v(0)t-\frac{1}{2}gt^2$

s가 0일 때의 시간을 구하면 됩니다. 

$0=h+v(0)t-\frac{1}{2}gt^2$

근의 공식을 사용하기 좋게 아래와 같이 변형합시다. 

$gt^2-2v(0)t-2h=0$

근의 공식을 사용합니다. 짝수공식을 쓰면 됩니다. 

$t=\frac{v(0)\pm \sqrt{v(0)^2+2gh}}{g}$

둘 중 양수인 값입니다. 

$t=\frac{v(0)+ \sqrt{v(0)^2+2gh}}{g}$

변위함수를 그래프로 그려보면 아래와 같습니다.