[동역학] 운동량과 충겨량 (1) 운동량과 충격량 쉽게 이해하기

운동량과 충격량에 대해 공부해봅시다. 운동량과 충격량 공식은 뉴튼의 2법칙에서 유도됩니다. 뉴튼의 2법칙은 아래와 같습니다. 

$\sum F=ma$

가속도가 상수가 아니라 시간에 대한 함수라고 가정합시다. 

$\sum F=ma(t)$

이때 가속도 함수 a(t) 는 아래와 같이 변형됩니다. 

$\sum F=\ m\frac{dv(t)}{dt}$

양변을 t로 적분합시다. 

$\int_{t_{1}}^{t_{2}} \sum Fdt=\int_{t_{1}}^{t_{2}} m\frac{dv(t)}{dt}dt$

우변의 m은 시간에 따라 변하지 않으므로 밖으로 꺼낼 수 있습니다. 

$\int_{t_{1}}^{t_{2}} \sum Fdt=m\int_{t_{1}}^{t_{2}} \frac{dv(t)}{dt}dt$

힘은 시간에 대해 변할 수도 있으므로 그냥 두겠습니다. 만약 힘이 시간에 대해 일정하다면 꺼낼 수 있습니다. 우변은 아래와 같이 계산됩니다. 

$\int_{t_{1}}^{t_{2}} \sum Fdt=mv(t_{2})-mv(t_{1})$

시간 $t_{2}$에서의 속도를 $v_{2}$, 시간 $t_{1}$에서의 속도를 $v_{1}$이라고 놓으면 위 식은 아래와 같이 쓸 수 있습니다. 

$\int_{t_{1}}^{t_{2}} \sum Fdt=mv_{2}-mv_{1}$ 

위 식이 운동량-충격량 공식입니다. $mv$가 운동량이고 부르고, F를 t에대해 적분한 물리량이 충격량입니다. 위 식은 어떤 의미일까요? 이항을 통해 아래와 같이 변형하면 의미를 이해하기가 더 쉬워집니다. 

$mv_{1}+\int_{t_{1}}^{t_{2}} \sum Fdt=mv_{2}$ 

어떤 물체가 속도 $v_{1}$로 운동하고 있다면 운동량 $mv_{1}$ 를 가집니다. 이 물체에 힘 F(t) 가 시간 $t_{2}-t_{1}$ 동안 가해진다면, 물체의 운동량은 $mv_{2}$가 됩니다.