[동역학] 13. 곡선위를 움직이는 점의 순간속도와 순간가속도를 법선벡터와 접선벡터로 나타내기

한 점이 곡선 위를 움직이고 있습니다. 점 P에서의 순간 속도의 크기를 v, 접선벡터를 $\vec{e}_{t}$ 라고 할 때, 순간 속도벡터는 아래와 같이 표현됩니다. 

$\vec{v}=v \vec{e}_{t}$

양변을 미분하면 가속도 벡터를 구할 수 있습니다. 미분합시다. 

$\vec{a}=\frac{d \vec{v}}{dt}=\frac{dv}{dt}\vec{e}_{t}+v\frac{d \vec{e}_{t}}{dt}$

두번째 항에 아래와 같이 체인룰을 적용할 수 있습니다. 

$\vec{a}=\frac{d \vec{v}}{dt}=\frac{dv}{dt}\vec{e}_{t}+v\frac{d \vec{e}_{t}}{d \theta}\frac{d \theta}{ds}\frac{ds}{dt}$

$\frac{d \vec{e}_{t}}{d \theta} $ 는 $\vec{e}_{n}$입니다. 

$\vec{a}=\frac{d \vec{v}}{dt}=\frac{dv}{dt}\vec{e}_{t}+v \vec{e}_{n} \frac{d \theta}{ds}\frac{ds}{dt}$

$\frac{d \theta}{ds}$ 는 $\frac{1}{\rho}$ 입니다. $\rho$는 반지름을 의미합니다. $ds=\rho d\theta$ 이기 때문입니다. 

$\vec{a}=\frac{d \vec{v}}{dt}=\frac{dv}{dt}\vec{e}_{t}+\frac{v}{\rho} \vec{e}_{n} \frac{ds}{dt}$

$\frac{ds}{dt}$ 는 순간속도의 크기입니다. v입니다. 따라서 아래 수식이 유도됩니다. 

$\vec{a}=\frac{d \vec{v}}{dt}=\frac{dv}{dt}\vec{e}_{t}+\frac{v^{2}}{\rho} \vec{e}_{n} $

각 계수는 순간가속도의 접선방향 선분과 법선방향성분입니다. 아래와 같이 나타냅니다. 

$a_{t}=\frac{dv}{dt}$

$a_{n}=\frac{v^{2}}{\rho}$