[동역학] 등속원운동하는 물체의 운동 분석

어떤 입자가 원점을 중심으로 등속 원운동을 하고 있다고 합시다. 오늘은 이 물체의 운동을 분석해 보겠습니다. 

 

1. 속도 분석

시간 t에서 입자의 위치를 $\vec{r}(t)$, 시간 $t+\Delta t$ 에서 물체의 위치를 $\vec{r}(t+\Delta t)$ 라고 합시다. 이때 평균 속도는 아래와 같이 정의됩니다. 

$\vec{v}_{avg}=\frac{\vec{r}(t+\Delta t)-\vec{r}(t)}{\Delta t}$

순간속도는 아래와 같은 극한값으로 정의됩니다. 

$\vec{v}=\lim_{\Delta t \rightarrow  0}\frac{\vec{r}(t+\Delta t)-\vec{r}(t)}{\Delta t}=\frac{d\vec{r}(t)}{dt}$

순간 속도의 방향은 입자가 그리는 원의 접선방향입니다. 

 

 

2. 가속도 분석

시간 t에서 물체의 속도를 $\vec{r}(t)$, 시간 $t+\Delta t$ 에서 물체의 속도를 $\vec{v}(t+\Delta t)$ 라고 합시다. 이때 평균 가속도는 아래와 같이 정의됩니다. 

$\vec{a}_{avg}=\frac{\vec{v}(t+\Delta t)-\vec{v}(t)}{\Delta t}$

순간가속도는 아래와 같은 극한값으로 정의됩니다. 

$\vec{v}=\lim_{\Delta t \rightarrow  0}\frac{\vec{v}(t+\Delta t)-\vec{v}(t)}{\Delta t}=\frac{d\vec{v}(t)}{dt}$

가속도의 방향을 생각해봅시다. 시간에 따른 속도 벡터들을 하나의 중심으로 모아보면, 벡터의 끝점들은 아래와 같은 노란 원을 그리게 됩니다. 이런 곡선을 호도그래프(hodograph)라고 부릅니다. 

 

 

이때 순간가속도의 방향은 호도그래프의 접선벡터입니다. 

 

 

가속도는 물체에 작용하는 것이므로 아래와 같이 나타낼 수 있습니다. 

 

 

가속도의 방향은 원의 중심방향입니다. 

 

이제 속도와 가속도의 크기에 대한 이야기를 해봅시다. 

 

 

3. 속도-가속도의 관계를 직교좌표 성분으로 분석

시간 t에서 입자의 속도를 $\vec{v}(t)$라고 했을 때, 이 속도를 직교좌표 성분으로 분석하는 것은 어렵습니다. 원운동이기 때문입니다. 다른 방법을 생각해봅시다. 

 

4. 속도-가속도 관계를 법선 및 접선 성분으로 분석

시간 t에서 입자의 속도를 $\vec{v}(t)$라고 놓겠습니다. 우리가 고려할 좌표성분은 법선과 접선 성분입니다. 입자가 운동하는 곡선의 접선방향 단위벡터를 $\vec{u}_{t}$, 법선 방향 성분을 $\vec{u}_{n}$ 라고 놓겠습니다. 속도의 크기를 $v$라고 놓으면 입자의 속도는 아래와 같이 나타낼 수 있습니다. 

 

$\vec{v}=v\vec{u}_{t}$

 

속도를 미분하면 가속도입니다. 양변을 미분해봅시다. 

 

$\vec{a}=v\frac{d\vec{u}_{t}}{dt}$

 

$\vec{u}_{t}$ 의 시간 t에 대한 미분을 계산해봅시다. 시간 t일 때의 단위 접선벡터와 $t+\Delta t$ 일 때의 단위 접선벡터를 그림으로 그려보면 아래와 같습니다. 

 

 

접선 벡터의 원점을 일치시켜서 그려봅시다. 

 

 

위 삼각형을 이용하면 아래 극한값을 구할 수 있습니다. t에대한 극한값을 구하기 위해 필요한 극한값입니다. 

 

$\lim_{\Delta \theta \rightarrow 0}\frac{\Delta \vec{u}_{t}(t)}{\Delta \theta}=
\lim_{\Delta \theta \rightarrow 0}\frac{2\sin \frac{\Delta \theta}{2} }{\Delta \theta}\vec{u}_{n}=
\vec{u}_{n}$

 

이제 t에 대한 미분을 구해봅시다. 아래 미분을 구하면 됩니다. 

 

$\frac{d \vec{u}_{t}(t)}{d t}$

 

체인룰을적용하면 아래와 같습니다. 

 

$\frac{d \vec{u}_{t}(t)}{d t}=\frac{d \vec{u}_{t}(t)}{d \theta}\frac{d\theta}{dt}$ 

 

우변의 첫번째 항은 위에서 구했습니다. $\vec{u}_{n}$입니다. 우변의 두번째 항은 $\frac{v}{r}$ 입니다. 따라서 아래 등식이 성립합니다. 

 

$\frac{d \vec{u}_{t}(t)}{d t}=\frac{v}{r}\vec{u}_{n}$

 

위에서 구하던 가속도식을 가져옵시다. 

 

$\vec{a}=v\frac{d\vec{u}_{t}}{dt}$

 

위 식을 대입합시다. 등속원운동을 하는 입자의 가속도의 크기와 방향을 구했습니다. 

 

$\vec{a}=\frac{v^2}{r}\vec{u}_{n}$