[동역학] 3차원에서 입자의 곡선운동

3차원에서 입자의 곡선운동을 표현해봅시다. 위치, 속도, 가속도로 운동을 표현해볼 것입니다. 

 

 

위치

먼저 시간 t에서의 입자의 위치를 벡터를 이용하여 표현하겠습니다. 시간 t에서 입자의 위치는 아래와 같이 표현됩니다. 원점으로 부터의 위치벡터입니다.

$\vec{r}$

이 벡터는 시간의 함수입니다. 따라서 자세히 표현하면 아래와 같습니다. 

$\vec{r}(t)=\left [x(t),y(t),z(t)  \right ]$

 

속도

$\Delta t$ 라는 시간이 흘렀고, 입자의 위치가 변했습니다. 변한 위치의 위치벡터를 $\vec{r'}$라고 합시다. 자세히 표현하면 아래와 같습니다.

$\vec{r'}=\vec{r}(t+\Delta t)=\left [x(t+\Delta t),y(t+\Delta t),z(t+\Delta t)  \right ]$

이때 아래와같은 변위벡터를 정의할 수 있습니다.

$\Delta \vec{r}=\vec{r'}-\vec{r}=\left [x(t+\Delta t)-x(t),y(t+\Delta t)-y(t),z(t+\Delta t)-z(t)  \right ]$

양변을 $\Delta t$로 나눠줍시다. 

$\frac{\Delta \vec{r}}{\Delta t}=\left [\frac{x(t+\Delta t)-x(t)}{\Delta t},\frac{y(t+\Delta t)-y(t)}{\Delta t},\frac{z(t+\Delta t)-z(t)}{\Delta t}  \right ]$

우변의 분자는 위치의 변화량인 변위이므로 아래와 같이 바꿀 수 있습니다. 

$\frac{\Delta \vec{r}}{\Delta t}=\left [\frac{\Delta x}{\Delta t},\frac{\Delta y}{\Delta t},\frac{\Delta z}{\Delta t}  \right ]$

극한을 취해 t를 0으로 보내면 아래와 같습니다. 

$\frac{d \vec{r}}{d t}=\left [\frac{d x}{d t},\frac{dy}{dt},\frac{dz}{d t}  \right ]$

극한값은 속도벡터입니다.

$\vec{v}=\frac{d \vec{r}}{d t}=\left [\frac{d x}{d t},\frac{dy}{dt},\frac{dz}{d t}  \right ]$

아래와 같이 나타낼 수도 있습니다. 

$\vec{v}=\frac{d \vec{r}}{d t}=\left [v_{x},v_{y},v_{z}  \right ]$

 

가속도

시간 t에서의 속도를 $\vec{v}$라고 합시다. 자세히 나타내면 아래와 같습니다. 

$\vec{v}(t)=\left [v_{x}(t),v_{y}(t),v_{z}(t)  \right ]$

시간이 $\Delta t$  흐른 뒤의 속도를  $\vec{v'}$ 이라고 합시다. 자세히 나타내면 아래와 같습니다. 

$\vec{v'}(t)=\left [v_{x}(t+\Delta t),v_{y}(t+\Delta t),v_{z}(t+\Delta t)  \right ]$

 $\Delta t$ 동안의 속도의 변화를 나타내는 벡터는 위 두 벡터의 차를 통해 나타낼 수 있습니다. 

$\Delta \vec{v}=\vec{v'}-\vec{v}=\left [v_{x}(t+\Delta t)-x(t),v_{y}(t+\Delta t)-y(t),v_{z}(t+\Delta t)-z(t)  \right ]$

양변을 $\Delta t$로 나눠줍시다. 

$\frac{\Delta \vec{v}}{\Delta t}=\left [\frac{v_{x}(t+\Delta t)-x(t)}{\Delta t},\frac{v_{y}(t+\Delta t)-y(t)}{\Delta t},\frac{v_{z}(t+\Delta t)-z(t)}{\Delta t}  \right ]$

우변의 분자를 아래와 같이 바꿀 수 있습니다. 

$\frac{\Delta \vec{v}}{\Delta t}=\left [\frac{\Delta v_{x}}{\Delta t},\frac{\Delta v_{y}}{\Delta t},\frac{\Delta v_{z}}{\Delta t}  \right ]$

극한을 취해 t를 0으로 보내면 아래와 같습니다. 

$\frac{d \vec{v}}{d t}=\left [\frac{d v_{x}}{d t},\frac{dv_{y}}{dt},\frac{dv_{z}}{d t}  \right ]$

 

극한값은 가속도벡터입니다.

 

$\vec{a}=\frac{d \vec{v}}{d t}=\left [\frac{d v_{x}}{d t},\frac{dv_{y}}{dt},\frac{dv_{z}}{d t}  \right ]$

아래와 같이 나타낼 수도 있습니다. 

$\vec{a}=\frac{d \vec{v}}{d t}=\left [a_{x},a_{y},a_{z}  \right ]$