[동역학] 가속도가 일정한 경우의 1차원 운동(위치,속도)

가속도가 $a$ 로 일정하다고 합시다. 이때 변위와 속도를 구해봅시다. 

 

가속도가 일정한 경우 속도

가속도가 일정한 경우의 속도는 아래 수식을 이용하여 구할 수 있습니다. 

$\frac{dv}{dt}=a$

아래와 같이 변형합시다. 

$dv=adt$

양변을 적분합시다. 

$\int_{v_{0}}^{v}dv=\int_{0}^{t}adt$

우변의 가속도는 적분상수와 무관하므로 밖으로 꺼낼 수 있습니다. 

$\int_{v_{0}}^{v}dv=a\int_{0}^{t}dt$

적분을 계산합시다. 

$v-v_{0}=at$

이항합시다. 

$v=v_{0}+at$

 

가속도가 일정한 경우 위치

가속도가 일정한 경우의 변위는 위에서 구한 속도 수식과 아래 수식을 이용하여 구할 수 있습니다. 

$\frac{dx}{dt}=v$

위에서 구한 속도수식을 대입합시다. 

$\frac{dx}{dt}=v_{0}+at$

아래와 같이 변형합시다. 

$dx=(v_{0}+at)dt$

양변을 아래와 같이 적분합시다. 

$\int_{x_{0}}^{x}dx=\int_{0}^{t}(v_{0}+at)dt$

적분을 계산합시다. 

$x-x_{0}=v_{0}t+\frac{1}{2}at^{2}$

이항합시다. 

$x=x_{0}+v_{0}t+\frac{1}{2}at^{2}$

 

 

가속도가 일정한 경우 속도-변위 공식

지난 강의에서 아래 수식이 성립한다는 것을 배웠습니다. 

 

$v\frac{dv}{dx}=a$

 

아래와 같이 변형합시다. 

 

$vdv=adx$

 

양변을 적분합시다. 

 

$\int_{v_{0}}^{v}vdv=\int_{x_{0}}^{x}adx$

 

$a$는 적분상수와 무관하므로 밖으로 꺼내줄 수 있습니다. 

 

$\int_{v_{0}}^{v}vdv=a\int_{x_{0}}^{x}dx$

 

$v^{2}-v_{0}^{2}=a(x-x_{0})$