[동역학] 역학적 에너지 보존 (3) 역학적 에너지 보존법칙 유도

지난시간에 논의한 내용을 확장해봅시다. 몇가지 설정을 추가하겠습니다. 

높이 $h_{1}$ 에서 질량 m 인 물체를 떨어뜨렸다고 합시다. 물체가 $h_{2}$와 $h_{3}$를 지났습니다. 물체의 높이가 $h_{2}$에서 $h_{3}$가 되는 동안 중력이 한 일을 구해봅시다. 공기 저항은 무시합시다. 

중력이 당기는 방향으로 $h_{2}-h_{3}$ 만큼 이동했으므로, 중력이 한 일은 $mg(h_{2}-h_{3})$ 입니다. 중력이 한 일은 물체의 운동에너지로 전환됩니다. 일과 운동에너지의 관계에 관하여 지난 시간에 유도한 등식은 아래와 같습니다. 

$\frac{mv_{0}^2}{2}+F\Delta s=\frac{mv(t)^2}{2}$

높이 $h_{2}$에서의 속도를 $v_{2}$, 높이 $h_{3}$ 에서의 속도를 $v_{3}$이라고 놓으면 위 식은 아래와 같이 변형됩니다. 

$\frac{mv_{2}^2}{2}+F\Delta s=\frac{mv_{3}^2}{2}$

$F\Delta s$ 는 $mg(h_{2}-h_{3})$ 이므로 아래와 같이 변형됩니다.

$\frac{mv_{2}^2}{2}+mg(h_{2}-h_{3})=\frac{mv_{3}^2}{2}$

아래와 같이 좌변의 두번째 항을 전개합시다. 

$\frac{mv_{2}^2}{2}+mgh_{2}-mgh_{3}=\frac{mv_{3}^2}{2}$

아래와 같이 변형합시다. 

$\frac{mv_{2}^2}{2}+mgh_{2}=\frac{mv_{3}^2}{2}+mgh_{3}$

좌변의 첫 항을 $h_{2}$ 에서의 운동에너지, 두번째 항을 h_{2}에서의 위치에너지라고 정의합니다. h가 달라져도 두 값의 합은 보존됩니다. 운동에너지와 위치에너지의 합을 역학적에너지라고 부릅니다. 

단, 외력이 없어야 합니다. 우리가 위 식을 유도할 때 중력을 제외한 어떠한 외력도 작용하지 않았습니다. 중력의 영향만을 받는 상황에서 역학적 에너지는 보존됩니다.