[동역학] 역학적 에너지 보존 (1) 운동에너지 유도 (일과 운동에너지)

운동에너지는 $\frac{1}{2}mv^2$ 입니다. 운동하는 물체가 가진 에너지인데요. 운동에너지는 어떻게 유도된걸까요. 함께 알아봅시다. 

등가속도 운동을 가정하고 유도하겠습니다. 등가속도 운동에서 가속도 함수는 아래와 같습니다. 

$a(t)=a$

가속도 함수를 적분하여 속도함수를 구합시다. 

$v(t)=v_{0}+at$

속도 함수를 적분하여 변위 함수를 구합시다. 

$s(t)=s_{0}+v_{0}t+\frac{1}{2}at^2$

변위함수를 아래와 같이 변형합시다. 

$s(t)-s_{0}=v_{0}t+\frac{1}{2}at^2$

속도함수를 아래와 같이 변형하여 시간 t에 대해 정리합시다. 

$t=\frac{v(t)-v_{0}}{a}$

변위 함수에 대입합시다. 

$s(t)-s_{0}=v_{0}\cdot \frac{v(t)-v_{0}}{a}+\frac{1}{2}a\left ( \frac{v(t)-v_{0}}{a} \right )^2$

우변을 아래와 같이 변형합시다. 

$s(t)-s_{0}= \frac{v_{0}v(t)-v_{0}^2}{a}+\frac{1}{2}\frac{v(t)^2-2v(t)v_{0}+v_{0}^2}{a}$

2a로 통분합니다. 

$s(t)-s_{0}=\frac{2v_{0}v(t)-2v_{0}^2+v(t)^2-2v(t)v_{0}+v_{0}^2}{2a}$

아래와 같이 계산합니다. 

$s(t)-s_{0}=\frac{v(t)^2-v_{0}^2}{2a}$

위 식에 대해 설명하겠습니다. 등가속도 운동에서 특정 시간의 속도를 알면 변위를 계산할 수 있다는 수식입니다. 좌변은 변위의 변화량이므로 아래와 같이 나타낼 수 있습니다. 

$\Delta s=\frac{v(t)^2-v_{0}^2}{2a}$

지금부터 식을 변형할건데요. 이 식을 변형하면 운동에너지 식이 유도됩니다. 먼저 양변에 a를 곱합시다. 

$a\Delta s=\frac{v(t)^2-v_{0}^2}{2}$

양변에 질량을 곱해줍시다. 

$ma\Delta s=m\frac{v(t)^2-v_{0}^2}{2}$

ma는 F입니다. 

$F\Delta s=m\frac{v(t)^2-v_{0}^2}{2}$

$F\Delta s$는 물체에 가해진 힘이 한 일입니다. 우변은 아래와 같이 둘로 나뉩니다. 

$F\Delta s=\frac{mv(t)^2}{2}-\frac{mv_{0}^2}{2}$

아래와 같이 변형할 수 있습니다. 

$\frac{mv_{0}^2}{2}+F\Delta s=\frac{mv(t)^2}{2}$

위 모든 항의 단위는 J 입니다. 일 또는 에너지를 의미합니다. 질량과 속도를 가진 물체의 에너지이므로 운도에너지라고 부릅니다. 

위 식을 설명하겠습니다. 좌변의 첫 항은 물체가 기존에 가지고 있던 운동에너지입니다. 초기속도가 없다면 0이 됩니다. 이 물체에 힘을 가하여 일을 해주었더니, 물체의 운동에너지가 우변으로 변한다는 의미입니다. 일이 운동에너지로 전환된 것입니다.