[유한요소법] 5. 강성법 (1) 강성행렬

강성행렬은 노드에서의 변위와 힘을 연결해주는 행렬입니다. 개별 요소 노드의 변위와 힘을 연결하는 행렬은 소문자 k로 나타냅니다.

 

$\left [ k \right ]=\begin{bmatrix}
k_{11} & k_{12}  & \cdots    & k_{1n} \\ 
k_{21} & k_{22}  & \cdots    & k_{2n} \\ 
\vdots  & \vdots  & \vdots  & \vdots \\ 
k_{n1} & k_{n2}  & \vdots   & k_{nn} \\ 
\end{bmatrix}$

 

강성행렬을 이용하여 힘과 변위를 연결한 수식은 아래와 같습니다. 

 

$\left \{ f \right \}=[k] \left \{ d \right \}$

 

간단한 형태를 이용하여 이해해봅시다. 2차원 상에 두개의 노드를 가진 엘리먼트가 있습니다. 각 노드는 두개의 변위와 세개의 회전을 갖는다고 합시다. 총 3자유도를 갖는 것입니다. 이때 수식은 아래와 같이 표현됩니다. 

 

$\begin{bmatrix}
f_{x1}\\ 
f_{y1}\\ 
m_{1}\\ 
f_{x2}\\ 
f_{x2}\\ 
m_{2}
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
k_{11} &k_{12}  &k_{13}  &k_{14}  &k_{15}  &k_{16} \\ 
k_{21} &k_{22}  &k_{23}  &k_{24}  &k_{25}  &k_{26} \\ 
k_{31} &k_{32}  &k_{33}  &k_{34}  &k_{35}  &k_{36} \\ 
k_{41} &k_{42}  &k_{43}  &k_{44}  &k_{45}  &k_{46} \\ 
k_{51} &k_{52}  &k_{53}  &k_{54}  &k_{55}  &k_{56} \\ 
k_{61} &k_{62}  &k_{63}  &k_{64}  &k_{65}  &k_{66} \\ 
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
u_{1}\\ 
v_{1}\\ 
\theta_{1}\\ 
u_{2}\\ 
v_{2}\\ 
\theta_{2}
\end{bmatrix}$

 

위와 같이 표현하면 1차 연립방정식을 이용하여 모든 종류의 힘을 모든 종류의 변위와 연결시킬 수 있습니다. 한가지 의문이 듭니다. 1차식은 가장 간단한 형태의 관계식인데, 이렇게만 관계식을 세워도 괜찮냐는 의문입니다. 힘과 변위가 항상 1차 선형합으로 표현되는건 아닐텐데 말입니다. 

 

이러한 의문을 차차 해결해가도록 합시다.