[유한요소법] 5. 강성법 감잡기 (2) 선형 스프링 1개

스프링을 이용해서 강성행렬에 대한 감을 잡아봅시다. 아래와 같은 스프링이 있다고 합시다. 

 

이 스프링을 T의 힘으로 양쪽으로 잡아당기겠습니다. 

 

 

이때 늘어난 길이를 $\delta$라고 놓는다면 아래 등식이 성립합니다. 

 

$$T=k\delta$$

 

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node 관점

이번에는 위 상황을 node 관점으로 생각해봅시다. 왼쪽 끝 점을 node1, 오른쪽 끝 점을 node 2라고 놓겠습니다. 각 node에 가해지는 힘을 $f_{1}$, $f_{2}$ 라고 놓겠습니다. 각 node에서 발생하는 변위는 $u_{1}$, $u_{2}$ 라고 놓겠습니다. 이때 오른쪽 방향을 (+)라고 놓겠습니다. 

 

이때 늘어난 길이와 node 변위에 대해 아래 관계식이 성립합니다. 

 

$\delta=u_{2}-u_{1}$

 

스프링에 가해진 힘과, node에 가해진 힘 사이에는 아래 관계식이 성립합니다. 

 

$f_{1}=-T$

 

$f_{2}=T$

 

$T=k\delta$ 이므로 아래와 같이 변형할 수 있습니다. 

 

$f_{1}=-k(u_{2}-u_{1})$

 

$f_{2}=k(u_{2}-u_{1})$

 

행렬로 표현하면 아래와 같습니다. 

 

$\begin{bmatrix} f_{1}\\  f_{2} \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} k & -k\\  -k & k  \end{bmatrix} \begin{bmatrix} u_{1}\\  u_{2} \end{bmatrix}$

 

이때 아래 행렬을 '요소 강성행렬'이라고 합니다. 스프링을 하나의 요소(element)라고 할 때, 스프링 요소에 있는 node에 가해지는 힘과 변위를 연결하는 행렬입니다. 

 

$\begin{bmatrix} k & -k\\  -k & k  \end{bmatrix}$

 

이를 '개별 스프링에서의 요소강렬행렬' 이라고 부르겠습니다. 앞으로 자주 사용될 수식입니다. 

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변위 구하기

각 노드에 가해진 힘은 아래와 같습니다. 

 

$\begin{bmatrix} -T\\  T \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} k & -k\\  -k & k  \end{bmatrix} \begin{bmatrix} u_{1}\\  u_{2} \end{bmatrix}$

 

양변에 역행렬을 곱해주면 되는데, 역행렬이 없습니다. 해가 무수히 많은 방정식입니다. 왜그럴까요? $u_{2}-u_{1}$만 일정 값이면 되기 때문에 각 값이 결정되지는 않습니다.