[유한요소법] 6. 강성행렬 감잡기 (5) 스프링 병렬연결

아래와 같이 스프링이 직렬 및 병렬연결되어 있습니다. 

 

 

양 쪽에 T라는 힘이 작용하고 있습니다. 각 노드에서의 변위를 $u1,u2,u3$ 라고 놓겠습니다. 

---

각 요소의 힘-변위 방정식 구하기 

스프링 1에서의 힘-변위 방정식은 아래와 같습니다. 하중에서 위 첨자는 스프링번호, 아래첨자는 노드번호입니다. 

 

$\begin{bmatrix}
f^{(1)}_{1}\\ 
f^{(1)}_{2}
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
k_{1} &-k_{1} \\ 
-k_{1} &k_{1} 
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
u_{1}\\ 
u_{2}
\end{bmatrix}$

 

스프링 2에서의 힘-변위 방정식은 아래와 같습니다. 

 

$\begin{bmatrix}
f^{(2)}_{2}\\ 
f^{(2)}_{3}
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
k_{2} &-k_{2} \\ 
-k_{2} &k_{2} 
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
u_{2}\\ 
u_{3}
\end{bmatrix}$

 

스프링 3에서의 힘-변위 방정식은 아래와 같습니다.

 

$\begin{bmatrix}
f^{(3)}_{2}\\ 
f^{(3)}_{3}
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
k_{3} &-k_{3} \\ 
-k_{3} &k_{3} 
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
u_{2}\\ 
u_{2}
\end{bmatrix}$

 

스프링 2와 3의 힘-변위방정식을 더해주면 아래와 같습니다.

 

$\begin{bmatrix}
f^{(2)}_{2}+f^{(3)}_{2}\\ 
f^{(3)}_{3}+f^{(3)}_{3}
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
k_{2}+k_{3} &-(k_{2}+k_{3}) \\ 
-(k_{2}+k_{3}) & k_{2}+k_{3} 
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
u_{2}\\ 
u_{3}
\end{bmatrix}$

 

스프링1의 힘-변위 방정식과 합쳐줍시다. 

 

$\begin{bmatrix}
f^{(1)}_{1}\\ 
f^{(1)}_{2}+f^{(2)}_{2}+f^{(3)}_{2}\\ 
f^{(2)}_{3}+f^{(3)}_{3}
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
k_{1} & -k_{1} & 0 \\ 
-k_{1} & k_{1}+k_{2}+k_{3} & -(k_{2}+k_{3}) \\ 
0 & -(k_{2}+k_{3}) & k_{2}+k_{3}
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
u_{1}\\ 
u_{2}\\ 
u_{3}
\end{bmatrix}$

 

---

변위구하기

위 수식에서 각 노드에 가해진 힘을 계산하면 아래와 같습니다 .

 

$\begin{bmatrix}
-T\\ 
0\\ 
T
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
k_{1} & -k_{1} & 0 \\ 
-k_{1} & k_{1}+k_{2}+k_{3} & -(k_{2}+k_{3}) \\ 
0 & -(k_{2}+k_{3}) & k_{2}+k_{3}
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
u_{1}\\ 
u_{2}\\ 
u_{3}
\end{bmatrix}$

 

양변에 역행렬을 곱해서 변위를 구하면 됩니다.