[유한요소법] 6. 강성행렬 감잡기 (5) 스프링 병렬연결

아래와 같이 스프링이 직렬 및 병렬연결되어 있습니다. 

 

 

양 쪽에 T라는 힘이 작용하고 있습니다. 각 노드에서의 변위를 $u1,u2,u3$ 라고 놓겠습니다. 

---

각 요소의 힘-변위 방정식 구하기 

스프링 1에서의 힘-변위 방정식은 아래와 같습니다. 하중에서 위 첨자는 스프링번호, 아래첨자는 노드번호입니다. 

 

$\begin{bmatrix} f^{(1)}_{1}\\  f^{(1)}_{2} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} k_{1} &-k_{1} \\  -k_{1} &k_{1}  \end{bmatrix}\begin{bmatrix} u_{1}\\  u_{2} \end{bmatrix}$

 

스프링 2에서의 힘-변위 방정식은 아래와 같습니다. 

 

$\begin{bmatrix} f^{(2)}_{2}\\  f^{(2)}_{3} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} k_{2} &-k_{2} \\  -k_{2} &k_{2}  \end{bmatrix}\begin{bmatrix} u_{2}\\  u_{3} \end{bmatrix}$

 

스프링 3에서의 힘-변위 방정식은 아래와 같습니다.

 

$\begin{bmatrix} f^{(3)}_{2}\\  f^{(3)}_{3} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} k_{3} &-k_{3} \\  -k_{3} &k_{3}  \end{bmatrix}\begin{bmatrix} u_{2}\\  u_{2} \end{bmatrix}$

 

스프링 2와 3의 힘-변위방정식을 더해주면 아래와 같습니다.

 

$\begin{bmatrix} f^{(2)}_{2}+f^{(3)}_{2}\\  f^{(3)}_{3}+f^{(3)}_{3} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} k_{2}+k_{3} &-(k_{2}+k_{3}) \\  -(k_{2}+k_{3}) & k_{2}+k_{3}  \end{bmatrix}\begin{bmatrix} u_{2}\\  u_{3} \end{bmatrix}$

 

스프링1의 힘-변위 방정식과 합쳐줍시다. 

 

$\begin{bmatrix} f^{(1)}_{1}\\  f^{(1)}_{2}+f^{(2)}_{2}+f^{(3)}_{2}\\  f^{(2)}_{3}+f^{(3)}_{3} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} k_{1} & -k_{1} & 0 \\  -k_{1} & k_{1}+k_{2}+k_{3} & -(k_{2}+k_{3}) \\  0 & -(k_{2}+k_{3}) & k_{2}+k_{3} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} u_{1}\\  u_{2}\\  u_{3} \end{bmatrix}$

 

---

변위구하기

위 수식에서 각 노드에 가해진 힘을 계산하면 아래와 같습니다 .

 

$\begin{bmatrix} -T\\  0\\  T \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} k_{1} & -k_{1} & 0 \\  -k_{1} & k_{1}+k_{2}+k_{3} & -(k_{2}+k_{3}) \\  0 & -(k_{2}+k_{3}) & k_{2}+k_{3} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} u_{1}\\  u_{2}\\  u_{3} \end{bmatrix}$

 

양변에 역행렬을 곱해서 변위를 구하면 됩니다.