[유한요소법] 6. 강성행렬 감잡기 (6) 직렬 스프링 2개 예제

예제) 아래와 같이 스프링 두개가 직렬로 연결되어 있습니다. 양 끝에는 10KN씩 하중이 가해지고 있습니다. 노드 1,2,3 에서의 변위를 구해보세요. 

 

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변위-하중 방정식

먼저 각 스프링의 변위-하중 방정식을 세우면 아래와 같습니다

 

$\begin{bmatrix}
f^{(1)}_{1}\\ 
f^{(1)}_{2}
\end{bmatrix}=
\begin{bmatrix}
100 & -100 \\ 
-100 & 100 
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
u_{1}\\ 
u_{2}
\end{bmatrix}$

 

$\begin{bmatrix}
f^{(2)}_{2}\\ 
f^{(2)}_{3}
\end{bmatrix}=
\begin{bmatrix}
200 & -200 \\ 
-200 & 200 
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
u_{2}\\ 
u_{3}
\end{bmatrix}$

 

두 식을 결합하면 아래와 같습니다. 

 

$\begin{bmatrix}
f^{(1)}_{1}\\ 
f^{(1)}_{2}+f^{(2)}_{2}\\ 
f^{(2)}_{3}
\end{bmatrix}=
\begin{bmatrix}
100 & -100 & 0 \\ 
-100 & 100+200 & -200 \\ 
0 & -200 & 200 
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
u_{1}\\ 
u_{2}\\ 
u_{3}
\end{bmatrix}$

 

문제에 주어진 하중을 대입해줍시다.

 

$\begin{bmatrix}
-10kN\\ 
0\\ 
10kN
\end{bmatrix}=
\begin{bmatrix}
100 & -100 & 0 \\ 
-100 & 100+200 & -200 \\ 
0 & -200 & 200 
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
u_{1}\\ 
u_{2}\\ 
u_{3}
\end{bmatrix}$

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하중-변위방정식 풀이

두가지 방법으로 풀어보겠습니다.

 

방법1) 역행렬 구해서 양변에 곱하기

 

R을 이용하여 구했습니다. 역행렬이 없어서 안되네요;

 

> a=matrix(c(100,-100,0,-100,300,-200,0,-200,200),3)
> solve(a)
Error in solve.default(a) : 
  Lapack routine dgesv: system is exactly singular: U[3,3] = 0
> det(a)
[1] 0

 

방법2) 가우스 소거법

 

$\begin{bmatrix}
-10kN\\ 
0\\ 
10kN
\end{bmatrix}=
\begin{bmatrix}
100 & -100 & 0 \\ 
-100 & 100+200 & -200 \\ 
0 & -200 & 200 
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
u_{1}\\ 
u_{2}\\ 
u_{3}
\end{bmatrix}$

 

1행을 2행에 더해줍니다. 

 

$\begin{bmatrix}
-10kN\\ 
-10kN\\ 
10kN
\end{bmatrix}=
\begin{bmatrix}
100 & -100 & 0 \\ 
0 & 200 & -200 \\ 
0 & -200 & 200 
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
u_{1}\\ 
u_{2}\\ 
u_{3}
\end{bmatrix}$

 

2행을 3행에 더해줍니다. 

 

$\begin{bmatrix}
-10kN\\ 
-10kN\\ 
0
\end{bmatrix}=
\begin{bmatrix}
100 & -100 & 0 \\ 
0 & 200 & -200 \\ 
0 & 0 & 0
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
u_{1}\\ 
u_{2}\\ 
u_{3}
\end{bmatrix}$

 

미지수는 3개이고, 방정식은 2개입니다. 해가 무수히 많습니다.