[유한요소법] 6. 강성행렬 감잡기 (3) 선형 스프링 3개 직렬

우리는 지금까지 스프링 1개의 강성행렬, 스프링 2개가 직렬 연결된 강성행렬을 구했습니다. 스프링을 하나만 더 늘려봅시다. 이번에는 직접 전부 유도하지 않고, 지난시간까지 알게된 원리를 바로 적용할 것입니다. 

 

아래와 같이 스프링 세개가 직렬 연결 되어 있고, 양 쪽에 T라는 힘이 작용하고 있습니다. 각 노드에서의 변위를 $u_{1},u_{2},u_{3}$ 라고 놓겠습니다. 

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각 요소의 힘-변위 방정식 구하기 

스프링 1에서의 힘-변위 방정식은은 아래와 같습니다. 하중에서 위 첨자는 스프링번호, 아래첨자는 노드번호입니다. 

 

$\begin{bmatrix} f^{(1)}_{1}\\  f^{(1)}_{2} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} k_{1} &-k_{1} \\  -k_{1} &k_{1}  \end{bmatrix}\begin{bmatrix} u_{1}\\  u_{2} \end{bmatrix}$

 

스프링 2에서의 힘-변위 방정식은은 아래와 같습니다. 

 

$\begin{bmatrix} f^{(2)}_{2}\\  f^{(2)}_{3} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} k_{2} &-k_{2} \\  -k_{2} &k_{2}  \end{bmatrix}\begin{bmatrix} u_{2}\\  u_{3} \end{bmatrix}$

 

스프링 3에서의 힘-변위 방정식은은 아래와 같습니다.

 

$\begin{bmatrix} f^{(3)}_{3}\\  f^{(3)}_{4} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} k_{3} &-k_{3} \\  -k_{3} &k_{3}  \end{bmatrix}\begin{bmatrix} u_{3}\\  u_{4} \end{bmatrix}$

 

스프링1,2,3에서 구한 행렬형태의 수식을 풀어서 쓰면 아래와 같습니다. 

 

$f^{(1)}_{1}=k_{1}u_{1}-k_{1}u_{2} \\ f^{(1)}_{2}=-k_{1}u_{1}+k_{1}u_{2} \\ f^{(2)}_{2}=k_{2}u_{2}-k_{2}u_{3} \\ f^{(2)}_{3}=-k_{2}u_{2}+k_{2}u_{3} \\ f^{(3)}_{3}=k_{3}u_{3}-k_{3}u_{4} \\ f^{(3)}_{4}=-k_{3}u_{3}+k_{3}u_{4}$

 

아래와 같이 변형합시다. 

 

$f^{(1)}_{1}=k_{1}u_{1}-k_{1}u_{2}+0\cdot u_{3}+0\cdot u_{4} \\ f^{(1)}_{2}=-k_{1}u_{1}+k_{1}u_{2}+0\cdot u_{3}+0\cdot u_{4} \\ f^{(2)}_{2}=0\cdot u_{1}+k_{2}u_{2}-k_{2}u_{3}+0\cdot u_{4} \\ f^{(2)}_{3}=0\cdot u_{1}-k_{2}u_{2}+k_{2}u_{3}+0\cdot u_{4} \\ f^{(3)}_{3}=0\cdot u_{1}+0\cdot u_{2}+k_{3}u_{3}-k_{3}u_{4} \\ f^{(3)}_{4}=0\cdot u_{1}+0\cdot u_{2}-k_{3}u_{3}+k_{3}u_{4}$

 

같은 node에 해당되는 힘 끼리 계산해줍니다. 

 

$\begin{align}  f^{(1)}_{1}&=k_{1}u_{1}-k_{1}u_{2}+0\cdot u_{3}+0\cdot u_{4} \\ f^{(1)}_{2}+f^{(2)}_{2}&=-k_{1}u_{1}+(k_{1}+k_{2})u_{2}-k_{2}u_{3}+0\cdot u_{4} \\ f^{(2)}_{3}+f^{(3)}_{3}&=0\cdot u_{1}-k_{2}u_{2}+(k_{2}+k_{3})u_{3}-k_{3}u_{4} \\ f^{(3)}_{4}&=0\cdot u_{1}+0\cdot u_{2}-k_{3}u_{3}+k_{3}u_{4} \end{align}$

 

행렬 형태로 바꿔줍시다. 

 

$\begin{bmatrix} f_{1}^{(1)}\\  f_{2}^{(1)}+f_{2}^{(2)}\\  f_{3}^{(2)}+f_{3}^{(3)}\\  f_{4}^{(3)} \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} k_{1} & -k_{1}  & 0 & 0\\  -k_{1} & (k_{1}+k_{2}) &-k_{2}  &0 \\  0 & -k_{2} & (k_{2}+k_{3}) & -k_{3}\\  0 & 0 & -k_{3} & k_{3}  \end{bmatrix} \begin{bmatrix} u_{1}\\  u_{2}\\  u_{3}\\  u_{4} \end{bmatrix}$

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변위 구하기

각 노드에 가해진 힘을 계산하면 아래와 같습니다. 

 

$\begin{bmatrix} -T\\  0\\  0\\  T \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} k_{1} & -k_{1}  & 0 & 0\\  -k_{1} & (k_{1}+k_{2}) &-k_{2}  &0 \\  0 & -k_{2} & (k_{2}+k_{3}) & -k_{3}\\  0 & 0 & -k_{3} & k_{3}  \end{bmatrix} \begin{bmatrix} u_{1}\\  u_{2}\\  u_{3}\\  u_{4} \end{bmatrix}$

 

양변에 역행렬을 곱해주면 되는데, 역행렬이 없습니다. 해가 무수히 많은 방정식입니다.