[탄성학] 사면체에서의 응력 요소

아래와 같은 사면체가 있다고 합시다.

 

 

면 ABC 의 법선벡터는 $\vec{n}$입니다. 면 ABC 에서의 응력 요소를 $p_{x}$,$p_{y}$,$p_{z}$ 라고 합시다. p는 합응력입니다. 응력벡터를  법선벡터 n의 방향 코사인을 l,m,n 이라고 놓겠습니다. 각각 x,y,z 축과의 방향코사인입니다. $l^2+m^2+n^2=1$이 성립합니다. 

이때 아래 등식이 유도됩니다. 

$\begin{align*}
p_{x}&=\sigma_{x}l+\tau_{xy}m+\tau_{xz}n \\
p_{y}&=\tau_{xy}l+\sigma_{y}m+\tau_{yz}n \\
p_{z}&=\tau_{xz}l+\tau_{yz}m+\sigma_{z}n 
\end{align*}$

 

행렬형태 식으로 나타내면 아래와 같습니다. 

 

$\begin{bmatrix}
p_{x}\\ 
p_{y}\\ 
p_{z}
\end{bmatrix}
=\begin{bmatrix}
\sigma_{x} & \tau_{xy} & \tau_{xz} \\ 
\tau_{yx} & \sigma_{y} & \tau_{yz} \\ 
\tau_{zx} & \tau_{zy}  & \sigma_{z}
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
l\\ 
m\\ 
n
\end{bmatrix}$

normal stress $\sigma$를 구해봅시다. normal stress는 아래와 같이 구할 수 있습니다. 응력요소의 n방향 성분들입니다. 

$\sigma=p_{x}l+p_{y}m+p_{z}n$

shear sterss 는 아래 식을 이용하여 구합니다. 

$\tau^2=p^2-\sigma^2$

 

(그림출처 : Ansel C. Ugural, Saul K. Fenster - Advanced Strength and Applied Elasticity-Prentice Hall (2011))