[유한요소법] 4. 힘, 변위,강성의 행렬표현 (열행렬, 정방행렬)

열행렬 기호

유한요소법에서는 물체를 작은 조각으로 나누고, 각 조각의 꼭지점을 node라고 부릅니다. 우리는 전체 힘을 각 노드에서 작용하는 힘으로 나누고, 각 노드의 변위를 계산할 것입니다. 각 노드에 작용하는 힘은 아래와 같이 표현됩니다. 

 

$\left \{ F \right \}=
\begin{bmatrix}
F_{1x}\\ 
F_{1y}\\ 
F_{1z}\\ 
F_{2x}\\ 
F_{2y}\\ 
F_{2z}\\ 
\vdots \\ 
F_{nx}\\ 
F_{ny}\\ 
F_{nz}
\end{bmatrix}$

 

예를들어 $F_{1x}$ 는 노드 1에 작용하는 x방향 힘입니다.

 

각 노드의 변위는 아래와 같이 나타냅니다 .

 

$\left \{ d \right \}=
\begin{bmatrix}
u_{1}\\ 
v_{1}\\ 
w_{1}\\ 
u_{2}\\ 
v_{2}\\ 
w_{2}\\ 
\vdots \\ 
u_{n}\\ 
v_{n}\\ 
w_{n}
\end{bmatrix}$

u,v,w는 각각 x,y,z 방향 변위를 나타냅니다. 예를들어 $u_{1}$은 노드 1의 x방향 변위입니다. $v_{2}$는 노드 2의 y방향 변위입니다. 

 

위 열벡터 또는 열행렬 이라고 합니다. 중괄호 { } 를 열행렬을 나타내는 기호로 사용하겠습니다. {F}, {M} 등은 열행렬입니다. 

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정방행렬 기호

나중에 배우게될 강성(stiffness)은 정방행렬로 표현됩니다. 전체강성행렬을 [K]로, 요소강성행렬을 [k]로 나타냅니다. 의미는 나중에 배우겠습니다. 

 

$\left [ K \right ]=\begin{bmatrix}
K_{11} & K_{12}  & \cdots    & K_{1n} \\ 
K_{21} & K_{22}  & \cdots    & K_{2n} \\ 
\vdots  & \vdots  & \vdots  & \vdots \\ 
K_{n1} & K_{n2}  & \vdots   & K_{nn} \\ 
\end{bmatrix}$

 

$\left [ k \right ]=\begin{bmatrix}
k_{11} & k_{12}  & \cdots    & k_{1n} \\ 
k_{21} & k_{22}  & \cdots    & k_{2n} \\ 
\vdots  & \vdots  & \vdots  & \vdots \\ 
k_{n1} & k_{n2}  & \vdots   & k_{nn} \\ 
\end{bmatrix}$

 

대괄호 [ ] 를 정방행렬을 나타내는 기호로 사용하겠습니다.  

 

 

 

※참고문헌※

1. 로건의 유한요소법 첫걸음

 

https://coupa.ng/b0P9y8

Logan의 유한요소법 첫걸음

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