[유한요소법] 6. 강성행렬 감잡기 (3) 선형 스프링 3개 직렬

우리는 지금까지 스프링 1개의 강성행렬, 스프링 2개가 직렬 연결된 강성행렬을 구했습니다. 스프링을 하나만 더 늘려봅시다. 이번에는 직접 전부 유도하지 않고, 지난시간까지 알게된 원리를 바로 적용할 것입니다. 

 

아래와 같이 스프링 세개가 직렬 연결 되어 있고, 양 쪽에 T라는 힘이 작용하고 있습니다. 각 노드에서의 변위를 $u_{1},u_{2},u_{3}$ 라고 놓겠습니다. 

---

각 요소의 힘-변위 방정식 구하기 

스프링 1에서의 힘-변위 방정식은은 아래와 같습니다. 하중에서 위 첨자는 스프링번호, 아래첨자는 노드번호입니다. 

 

$\begin{bmatrix}
f^{(1)}_{1}\\ 
f^{(1)}_{2}
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
k_{1} &-k_{1} \\ 
-k_{1} &k_{1} 
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
u_{1}\\ 
u_{2}
\end{bmatrix}$

 

스프링 2에서의 힘-변위 방정식은은 아래와 같습니다. 

 

$\begin{bmatrix}
f^{(2)}_{2}\\ 
f^{(2)}_{3}
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
k_{2} &-k_{2} \\ 
-k_{2} &k_{2} 
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
u_{2}\\ 
u_{3}
\end{bmatrix}$

 

스프링 3에서의 힘-변위 방정식은은 아래와 같습니다.

 

$\begin{bmatrix}
f^{(3)}_{3}\\ 
f^{(3)}_{4}
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
k_{3} &-k_{3} \\ 
-k_{3} &k_{3} 
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
u_{3}\\ 
u_{4}
\end{bmatrix}$

 

스프링1,2,3에서 구한 행렬형태의 수식을 풀어서 쓰면 아래와 같습니다. 

 

$
f^{(1)}_{1}=k_{1}u_{1}-k_{1}u_{2} \\
f^{(1)}_{2}=-k_{1}u_{1}+k_{1}u_{2} \\
f^{(2)}_{2}=k_{2}u_{2}-k_{2}u_{3} \\
f^{(2)}_{3}=-k_{2}u_{2}+k_{2}u_{3} \\
f^{(3)}_{3}=k_{3}u_{3}-k_{3}u_{4} \\
f^{(3)}_{4}=-k_{3}u_{3}+k_{3}u_{4}
$

 

아래와 같이 변형합시다. 

 

$f^{(1)}_{1}=k_{1}u_{1}-k_{1}u_{2}+0\cdot u_{3}+0\cdot u_{4} \\
f^{(1)}_{2}=-k_{1}u_{1}+k_{1}u_{2}+0\cdot u_{3}+0\cdot u_{4} \\
f^{(2)}_{2}=0\cdot u_{1}+k_{2}u_{2}-k_{2}u_{3}+0\cdot u_{4} \\
f^{(2)}_{3}=0\cdot u_{1}-k_{2}u_{2}+k_{2}u_{3}+0\cdot u_{4} \\
f^{(3)}_{3}=0\cdot u_{1}+0\cdot u_{2}+k_{3}u_{3}-k_{3}u_{4} \\
f^{(3)}_{4}=0\cdot u_{1}+0\cdot u_{2}-k_{3}u_{3}+k_{3}u_{4}$

 

같은 node에 해당되는 힘 끼리 계산해줍니다. 

 

$\begin{align} 
f^{(1)}_{1}&=k_{1}u_{1}-k_{1}u_{2}+0\cdot u_{3}+0\cdot u_{4} \\
f^{(1)}_{2}+f^{(2)}_{2}&=-k_{1}u_{1}+(k_{1}+k_{2})u_{2}-k_{2}u_{3}+0\cdot u_{4} \\
f^{(2)}_{3}+f^{(3)}_{3}&=0\cdot u_{1}-k_{2}u_{2}+(k_{2}+k_{3})u_{3}-k_{3}u_{4} \\
f^{(3)}_{4}&=0\cdot u_{1}+0\cdot u_{2}-k_{3}u_{3}+k_{3}u_{4}
\end{align}$

 

행렬 형태로 바꿔줍시다. 

 

$\begin{bmatrix}
f_{1}^{(1)}\\ 
f_{2}^{(1)}+f_{2}^{(2)}\\ 
f_{3}^{(2)}+f_{3}^{(3)}\\ 
f_{4}^{(3)}
\end{bmatrix}
=\begin{bmatrix}
k_{1} & -k_{1}  & 0 & 0\\ 
-k_{1} & (k_{1}+k_{2}) &-k_{2}  &0 \\ 
0 & -k_{2} & (k_{2}+k_{3}) & -k_{3}\\ 
0 & 0 & -k_{3} & k_{3} 
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
u_{1}\\ 
u_{2}\\ 
u_{3}\\ 
u_{4}
\end{bmatrix}$

---

변위 구하기

각 노드에 가해진 힘을 계산하면 아래와 같습니다. 

 

$\begin{bmatrix}
-T\\ 
0\\ 
0\\ 
T
\end{bmatrix}
=\begin{bmatrix}
k_{1} & -k_{1}  & 0 & 0\\ 
-k_{1} & (k_{1}+k_{2}) &-k_{2}  &0 \\ 
0 & -k_{2} & (k_{2}+k_{3}) & -k_{3}\\ 
0 & 0 & -k_{3} & k_{3} 
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
u_{1}\\ 
u_{2}\\ 
u_{3}\\ 
u_{4}
\end{bmatrix}$

 

양변에 역행렬을 곱해주면 되는데, 역행렬이 없습니다. 해가 무수히 많은 방정식입니다.